§ 12. Аналитические функции от многих матриц и их применение к исследованию дифференциальных систем. Работы И. A. Лaппo-Данилевского

Аналитическая функция от  матриц -го порядка  может быть задана при помощи ряда

    (156)

сходящегося для всех матриц -го порядка , удовлетворяющих неравенствам

 .                             (157)

Здесь коэффициенты

,  

- комплексные числа,   - постоянные матрицы -го порядка с положительными элементами и   - матрицы того же порядка, но переменные и с комплексными элементами.

Теория аналитических функций от нескольких матриц была развита И. А. Лаппо-Данилевским. На основе этой теории И. А. Лаппо-Данилевский провел фундаментальные исследования систем линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами.

Система с рациональными коэффициентами путем надлежащего преобразования независимой переменной всегда может быть приведена к виду

      (158)

где  - постоянные матрицы -го порядка,  - комплексные числа,  - целые положительные числа .

Некоторые результаты Лаппо-Данилевского мы проиллюстрируем на частном случае так называемых регулярных систем. Последние характеризуются условием  и записываются в виде

                                               (159)

Следуя Лаппо-Данилевскому, введем в рассмотрение специальные аналитические функции - гиперлогарифмы, - определяемые следующими рекуррентными соотношениями:

,

Рассматривая точки , как точки разветвления логарифмического типа, построим соответствующую риманову поверхность . Каждый гиперлогарифм будет однозначной функцией на этой поверхности. С другой стороны, матрицант системы (159)  (т. е. нормированное в точке  решение), будучи аналитически продолжен, также может быть рассматриваем как однозначная функция на ; при этом в качестве  может быть выбрана любая конечная точка на отличная от .

Для нормированного решения  Лаппо-Данилевский дает явное выражение через определяющие матрицы  системы (159) в виде ряда

        (160)

Это разложение сходится равномерно относительно  при любых  и представляет в любой конечной области на поверхности , если только эта область не содержит внутри и на границе точек .

Если ряд (156) сходится при любых матрицах , то соответствующая функция  называется целой.  представляет собой целую функцию от матриц .

Заставляя в формуле (160) аргумент  обойти точку  в положительном направлении один раз так, чтобы контур обхода не захватывал других точек  (при ), мы получим выражение для интегральной подстановки , соответствующей точке :

  ,       (161)

где в понятных обозначениях

 

Ряд (161), как и ряд (160), представляет собой целую функцию от .

Обобщив теорию аналитических функций на случай бесконечного, но счетного множества матриц-аргументов , Лаппо-Данилевский использовал эту теорию для исследования поведения решения системы в окрестности иррегулярной особой точки. Мы приведем основной результат.

Нормированное решение  системы

где степенной ряд в правой части сходится при  , может быть представлено рядом

   (162)

Здесь  и  - скалярные коэффициенты, определяемые по специальным формулам. Ряд (162) сходится при любых матрицах  в кольце

( - произвольное положительное число, меньшее ). Этому кольцу должна принадлежать и точка  .

Не имея возможности в какой бы то ни было степени подробно изложить содержание работ Лаппо-Данилевского в настоящей книге, мы вынуждены ограничиться приведенными выше формулировками некоторых основных результатов и отослать читателей к соответствующей литературе.

Все относящиеся к дифференциальным уравнениям работы Лаппо-Данилевского изданы посмертно Академией наук СССР в трех томах в 1934—1936 гг. Кроме того, основные результаты автора изложены в статьях [82] и небольшой книге [18а]. Сокращенное изложение некоторых результатов можно найти и в книге В. И. Смирнова «Курс высшей математики», т. III