ГЛАВА XVI. ПРОБЛЕМА РАУСА-ГУРВИЦА И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ

§ 1. Введение

В главе XII, § 2 мы выяснили, что согласно теореме Ляпунова нулевое решение системы дифференциальных уравнений

,                         (1)

[  - постоянные коэффициенты] при любых членах  второго порядка и выше относительно  является устойчивым, если все характеристические числа матрицы , т. е. все корни векового уравнения , имеют отрицательные вещественные части.

Поэтому задача установления необходимых и достаточных условий, при которых все корни данного алгебраического уравнения расположены в левой полуплоскости, имеет фундаментальное значение в ряде прикладных областей, в которых исследуется устойчивость механических и электрических систем.

Важность этой алгебраической задачи была ясна основоположникам теории регулирования машин, английскому физику Д. К. Максвеллу и русскому инженеру-исследователю И. А, Вышнеградскому, которые в своих работах, посвященных регуляторам, установили и широко использовали упомянутые алгебраические условия для уравнений не выше третьей степени.

В 1868 г. Максвелл выдвинул математическую задачу об отыскании соответствующих условий для алгебраического уравнения любой степени. Между тем эта задача по существу была решена в опубликованной в 1856 г. работе французского математика Эрмита [128]. В этой работе была установлена тесная связь между числом корней комплексного многочлена , расположенных внутри какой-либо полуплоскости (или даже внутри какого-либо прямоугольника), и сигнатурой некоторой квадратичной формы. Однако результаты Эрмита не были доведены до такого состояния, чтобы они могли быть использованы специалистами, работающими в прикладных областях. Поэтому эта работа Эрмита и не получила соответствующего распространения.

В 1875 г. английский механик Раус [45], пользуясь теоремой Штурма и теорией индексов Коши, установил алгоритм для определения числа  корней вещественного многочлена, расположенных в правой полуплоскости . В частном случае  этот алгоритм и дает критерий устойчивости.

В конце XIX в. крупнейший словацкий инженер-исследователь, создатель теории паровых и газовых турбин, А. Стодола, не зная работы Рауса, снова поставил задачу об отыскании условий того, чтобы все корни алгебраического уравнения имели отрицательные вещественные части, и в 1895 г. А. Гурвиц [129], опираясь на работы Эрмита, дает второе (независимое от Рауса) решение той же задачи. Полученные Гурвицем детерминантные неравенства известны в настоящее время под названием условий Рауса-Гурвица.

Однако еще до появления в свет работы Гурвица основатель современной теории устойчивости А. М. Ляпунов в своей знаменитой диссертации («Общая задача об устойчивости движения», Харьков, 1892) установил теорему, из которой вытекают необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни характеристического уравнения вещественной матрицы  имели отрицательные вещественные части. Эти условия используются в ряде работ по теории регулирования.

Новый критерий устойчивости был установлен в 1914 г. французскими математиками Льенаром и Шинаром [135].

Используя специальные квадратичные формы, эти авторы получили критерий устойчивости, имеющий некоторые преимущества перед критерием Рауса-Гурвица (число детерминантных неравенств в критерии Льенара-Шипара примерно вдвое меньше, нежели в критерии Рауса-Гурвица).

Знаменитые русские математики П. Л. Чебышев и А. А. Марков установили две замечательные теоремы в связи с разложением в ряды непрерывных дробей специального типа. Эти теоремы, как будет показано в § 16, имеют непосредственное отношение к проблеме Рауса-Гурвица.

В очерченном круге вопросов, как увидит читатель, находят себе существенное применение теория квадратичных форм (гл. X) и, в частности, теория ганкелевых форм (гл. X, § 10).