§ 2. Индексы Коши
Начнем с рассмотрения так называемых индексов Коши.
Определение 1. Индексом Коши вещественной рациональной функции
в пределах от
до
(обозначение
;
,
- вещественные числа, либо
) будем называть разность между числом разрывов
с переходом от
к
и числом разрывов с переходом от
к
при изменении аргумента от
к
.
Согласно этому определению, если

где
,
- вещественные числа, a
- рациональная функция, не имеющая вещественных полюсов, то

и вообще
(2')
В частности, если
- вещественный многочлен (
при
;
) и среди корней
этого многочлена только первые
вещественны, то

где
- вещественная рациональная функция, не имеющая вещественных полюсов.
Поэтому индекс

равен числу различных вещественных корней многочлена
, находящихся внутри интервала
.
Произвольная вещественная рациональная функция
всегда представима в виде

где все
и
- вещественные числа
и
не имеет вещественных полюсов. Тогда
(3)
и вообще
(3')
Если
, то индекс
выражается через приращение непрерывной функции
:
(4)
Один из методов вычисления индекса
основан на классической теореме Штурма.
Рассмотрим ряд вещественных многочленов
, (5)
обладающий двумя свойствами по отношению к интервалу
:
1° При любом значении
, обращающем в нуль какую-либо из функций
, две смежные функции
и
имеют значения, отличные от нуля и разных знаков, т. е. из
при
следует:
.
2° Последняя функция
в ряду (5) не обращается в нуль внутри
, т. е.
при
.
Такой ряд (4) многочленов называется рядом Штурма в интервале
.
Обозначим через
число перемен знака в ряду (5) при фиксированном значении
. Тогда при изменении
от
до
величина
может измениться лишь при переходе через нуль какой-либо из функций ряда (5). Но в силу 1° при переходе через нуль функции
величина
не изменяется. При переходе же через нуль функции
теряется или приобретается одна перемена знака в ряду (5) в зависимости от того, переходит при этом отношение
от
к
или наоборот. Поэтому имеет место
Теорема 1 (Штурма). Если
- ряд Штурма в
, а
- число перемен знака в этом ряду, то
(6)
Примечание. Помножим все члены ряда Штурма на один и тот же произвольный многочлен
. Полученный таким образом ряд многочленов назовем обобщенным рядом Штурма. Так как умножение всех членов ряда (5) на один и тот же многочлен не меняет ни левой, ни правой части равенства (6), то теорема Штурма сохраняет свою силу и для обобщенного ряда Штурма.
Заметим, что если даны два произвольных многочлена
и
, то всегда можно при помощи алгоритма Евклида построить обобщенный ряд Штурма, который начинался бы с функций
,
.
Действительно, обозначая через
остаток от деления
на
, через
- остаток от деления
на
и т. д., будем иметь цепочку тождеств
, (7)
где последний не равный тождественно нулю остаток
является наибольшим общим делителем
и
, а также наибольшим общим делителем всех функций построенного таким образом ряда (5). Если
, то полученный ряд (5) в силу (7) удовлетворяет условиям 1°, 2° и является рядом Штурма. Если же многочлен
имеет корни внутри интервала
, то ряд (5) является обобщенным рядом Штурма, поскольку он становится рядом Штурма после деления всех его членов на
.
Из сказанного следует, что индекс любой рациональной функции
может быть определен при помощи теоремы Штурма. Для этого достаточно представить
в виде
, где
,
,
- многочлены и степень
степени
. Тогда, если построить обобщенный ряд Штурма для
,
, то
.
При помощи теоремы Штурма можно определить число различных вещественных корней многочлена
внутри интервала
, поскольку это число, как мы видели, равно
.