§ 3. Алгоритм Рауса

1. Задача Рауса состоит в определении числа корней вещественного многочлена , расположенных в правой полуплоскости .

Рассмотрим сначала случай, когда не имеет нулей на мнимой оси. В правой полуплоскости построим полуокружность радиуса с центром в нуле и рассмотрим область, ограниченную этой полуокружностью и отрезком мнимой оси (рис. 9). При достаточно большом все нулей многочлена с положительными вещественными частями будут находиться внутри этой области. Поэтому при положительном обходе контура области получит приращение . С другой стороны, приращение вдоль полуокружности радиуса при определяется приращением аргумента старшего члена и потому равно . Поэтому для приращения вдоль мнимой оси получаем выражение

(8)

Рис. 9.

Введем не совсем обычные обозначения для коэффициентов многочлена , пусть

Тогда, замечая, что приращение в формуле (8) не изменится, если многочлен помножить на произвольное комплексное число, положим:

(9)

где

(10)

Следуя Раусу, воспользуемся индексом Коши. Из формул (4) и (9) находим:

Поэтому из формулы (8) следует, что

(11)

2. Для определения индекса, стоящего в левой части равенства (11), используем теорему Штурма (см. предыдущий параграф). Исходя из функций и , определяемых равенствами (10), построим, следуя Раусу, при помощи алгоритма Евклида обобщенный ряд Штурма (см. стр. 471)

(12)

Рассмотрим теперь регулярный случай: . В этом случае в ряду (12) степень каждой функции на единицу меньше степени предыдущей, и последняя функция имеет нулевую степень.

Из алгоритма Евклида [см. (7)] следует, что

где

, ,… (13)

Точно так же

где

, (13')

Аналогично определяются коэффициенты остальных многочленов .

При этом каждый из многочленов

(14)

является четной или нечетной функцией, причем степени смежных многочленов всегда имеют разную четность.

Составим схему Рауса:

(15)

В этой схеме, как показывают формулы (13), (13'), каждая строка определяется из двух предыдущих по следующему правилу:

Из чисел верхней строки вычитаются соответствуйте числа нижней, предварительно помноженные на такое число, чтобы первая разность обращалась в нуль. Отбрасывая эту нулевую разность, получаем искомую строку.

Регулярный случай, очевидно, характеризуется тем, что при последовательном применении этого правила мы в ряду

не встречаем числа, равного нулю, и этот ряд состоит из чисел.

Рис. 10. Рис. 11.

На рис. 10 и 11 показан скелет регулярной схемы Рауса при четном и нечетном . Здесь элементы схемы отмечены точками.

В регулярном случае многочлены и имеют наибольший общий делитель . Поэтому эти многочлены не обращаются одновременно в нуль, т. е. при вещественном. Поэтому в регулярном случае имеет место формула (11).

Применяя к левой части этой формулы теорему Штурма в интервале и используя при этом ряд (14), получаем согласно (11):

(16)

В данном случае

Отсюда

(17)

Из равенств (16) и (17) находим:

(18)

Нами доказана для регулярного случая.

Теорема 2 (Рауса). Число корней вещественного многочлена , лежащих в правой полуплоскости , равно числу перемен знака в первом столбце схемы Рауса.

3. Рассмотрим важный частный случай, когда все корни имеют отрицательные вещественные части («случай устойчивости»). В этом случае многочлен не имеет чисто мнимых корней, и потому имеет место формула (11), а следовательно, и формула (16). Поскольку , формула (16) перепишется так:

(19)

Но и . Поэтому равенство (19) возможно лишь тогда, когда (регулярный случай!) и , . Тогда из формулы (18) следует:

Критерий Рауса. Для того чтобы все корни вещественного многочлена имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при выполнении алгоритма Рауса все элементы первого столбца схемы Рауса получались отличными от нуля и одного знака.

4. При установлении теоремы Рауса мы опирались на формулу (11). В дальнейшем нам понадобится обобщение этой формулы. Формула (11) была выведена в предположении, что многочлен не имеет корней на мнимой оси. Мы покажем, что в общем случае, когда многочлен имеет корней в правой полуплоскости и корней на мнимой оси, формула (11) заменяется формулой