Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 3. Алгоритм Рауса

1. Задача Рауса состоит в определении числа  корней вещественного многочлена , расположенных в правой полуплоскости .

Рассмотрим сначала случай, когда  не имеет нулей на мнимой оси. В правой полуплоскости построим полуокружность радиуса  с центром в нуле и рассмотрим область, ограниченную этой полуокружностью и отрезком мнимой оси (рис. 9). При достаточно большом  все  нулей многочлена  с положительными вещественными частями будут находиться внутри этой области. Поэтому  при положительном обходе контура области получит приращение . С другой стороны, приращение  вдоль полуокружности радиуса  при  определяется приращением аргумента старшего члена  и потому равно . Поэтому для приращения  вдоль мнимой оси  получаем выражение

                                  (8)

Рис. 9.

Введем не совсем обычные обозначения для коэффициентов многочлена , пусть

 .

Тогда, замечая, что приращение  в формуле (8) не изменится, если многочлен  помножить на произвольное комплексное число, положим:

                                 (9)

где

               (10)

Следуя Раусу, воспользуемся индексом Коши. Из формул (4) и (9) находим:

Поэтому из формулы (8) следует, что

                        (11)

2. Для определения индекса, стоящего в левой части равенства (11), используем теорему Штурма (см. предыдущий параграф). Исходя из функций  и , определяемых равенствами (10), построим, следуя Раусу, при помощи алгоритма Евклида обобщенный ряд Штурма (см. стр. 471)

                                      (12)

Рассмотрим теперь регулярный случай: . В этом случае в ряду (12) степень каждой функции на единицу меньше степени предыдущей, и последняя функция  имеет нулевую степень.

Из алгоритма Евклида [см. (7)] следует, что

где

, ,…       (13)

Точно так же

где

,      (13')

Аналогично определяются коэффициенты остальных многочленов .

При этом каждый из многочленов

                                    (14)

является четной или нечетной функцией, причем степени смежных многочленов всегда имеют разную четность.

Составим схему Рауса:

                                              (15)

В этой схеме, как показывают формулы (13), (13'), каждая строка определяется из двух предыдущих по следующему правилу:

Из чисел верхней строки вычитаются соответствуйте числа нижней, предварительно помноженные на такое число, чтобы первая разность обращалась в нуль. Отбрасывая эту нулевую разность, получаем искомую строку.

Регулярный случай, очевидно, характеризуется тем, что при последовательном применении этого правила мы в ряду

не встречаем числа, равного нулю, и этот ряд состоит из  чисел.

Рис. 10.                     Рис. 11.

На рис. 10 и 11 показан скелет регулярной схемы Рауса при  четном  и  нечетном . Здесь элементы схемы отмечены точками.

В регулярном случае многочлены  и  имеют наибольший общий делитель . Поэтому эти многочлены не обращаются одновременно в нуль, т. е.  при  вещественном. Поэтому в регулярном случае имеет место формула (11).

Применяя к левой части этой формулы теорему Штурма в интервале  и используя при этом ряд (14), получаем согласно (11):

                                    (16)

В данном случае

а

Отсюда

                                           (17)

Из равенств (16) и (17) находим:

                                        (18)

Нами доказана для регулярного случая.

Теорема 2 (Рауса). Число корней вещественного многочлена , лежащих в правой полуплоскости , равно числу перемен знака в первом столбце схемы Рауса.

3. Рассмотрим важный частный случай, когда все корни  имеют отрицательные вещественные части («случай устойчивости»). В этом случае многочлен  не имеет чисто мнимых корней, и потому имеет место формула (11), а следовательно, и формула (16). Поскольку , формула (16) перепишется так:

                                           (19)

Но  и . Поэтому равенство (19) возможно лишь тогда, когда  (регулярный случай!) и , . Тогда из формулы (18) следует:

Критерий Рауса. Для того чтобы все корни вещественного многочлена  имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы при выполнении алгоритма Рауса все элементы первого столбца схемы Рауса получались отличными от нуля и одного знака.

4. При установлении теоремы Рауса мы опирались на формулу (11). В дальнейшем нам понадобится обобщение этой формулы. Формула (11) была выведена в предположении, что многочлен  не имеет корней на мнимой оси. Мы покажем, что в общем случае, когда многочлен   имеет  корней в правой полуплоскости и  корней на мнимой оси, формула (11) заменяется формулой

     (20)

В самом деле,

,

где вещественный многочлен  имеет  корней на мнимой оси, а многочлен  степени  таких корней не имеет. Пусть

, .

Тогда

.

Поскольку  - вещественный многочлен относительно , то

.

К многочлену  применима формула (11). Поэтому

что и требовалось доказать.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>