§ 4. Особые случаи. Примеры

1. В предыдущем параграфе мы разобрали регулярный случай, когда при заполнении схемы Рауса ни одно из чисел  не оказывается равным нулю.

Переходим теперь к рассмотрению особых случаев, когда в ряду чисел  мы встречаемся с числом . Алгоритм Рауса останавливается на той строке, где находится  так как для получения чисел следующей строки нужна делить на .

Особые случаи могут быть двух типов:

1) В той же строке, где находится , имеются числа, но равные нулю. Это означает, что в каком-то месте ряда (12) произошло понижение степени больше чем на единицу.

2) Одновременно все числа строки, содержащей , оказываются равными нулю. Тогда эта строка является -й, где  - число членов в обобщенном ряду Штурма (5). В этом случае в ряду (12) степени функций все время понижаются на единицу, но степень последней функция  больше нуля. В обоих случаях в ряду (12) число функций .

Поскольку обычный алгоритм Рауса в особых случаях приостанавливается. Раус дает специальные правила для продолжения схемы в случаях 1), 2).

2. В случае 1) следует по Раусу вместо  подставить «малую» величину  определенного (но произвольного) знака и продолжать заполнение схемы. При этом последующие элементы первого столбца схемы будут рациональными функциями от . Знаки этих элементов определятся, исходя из «малости» и знака . Если же какой-либо из этих элементов окажется тождественным нулем относительно , то мы этот элемент заменим другой малой величиной  и продолжим алгоритм.

Пример.

.

Схема Рауса (с малым параметром )

Обоснование этого своеобразного метода варьирования элементов схемы заключается в следующем:

Поскольку мы предполагаем отсутствие особенностей этого типа, то функции  и  взаимно просты. Отсюда следует, что многочлен  не имеет коней на мнимой оси.

В схеме Рауса все элементы выражаются рационально через элементы первых двух строк, т.е. через коэффициенты данного многочлена. Но нетрудно усмотреть из формул (13), (13') и аналогичных формул для последующих строк, что, задавшись произвольными значениями для элементов двух любых подряд идущих строк схемы Рауса и для первых элементов предыдущих строк, мы можем целым рациональным образом выразить через эти элементы все числа, стоящие в первых двух строках, т.е. коэффициенты исходного многочлена. Так, например, все числа  и  можно представить в виде целых рациональных функций от

Поэтому, заменяя  на , мы фактически видоизменяем наш исходный многочлен. Вместо схемы для  мы меняем схему Рауса для многочлена , где  - целая рациональная функция от  и , обращающаяся в  при . Так как корни многочлена  непрерывно меняются с  изменением параметра  и при  нет корней на мнимой оси, то при малых по модулю значениях  число  корней в правой полуплоскости у многочленов  и  одинаково.

3. Переходим к рассмотрению особенностей второго типа. Пусть в схеме Рауса

,

В этом случае в обобщенном ряду Штурма (16) последний многочлен имеет вид:

Раус предлагает заменить нулевое  на , т. е. вместо нулевых  написать соответственно коэффициенты

и продолжать алгоритм.

Обоснование этого правила заключается в следующем:

Согласно формуле (20)

  корней многочлена  на мнимой оси совпадают с вещественными корнями многочлена . Поэтому, если эти вещественные корни простые, то (см. стр. 470)

и, следовательно,

Эта формула показывает, что недостающую часть схемы Рауса следует заполнить схемой Рауса для многочленов  и . Коэффициенты многочлена  и  используются для замены элементов нулевой строки в схеме Рауса.

Если же корни  не простые, то, обозначая через  наибольший общий делитель  и , через  наибольший общий делитель  и  и т. д., мы будем иметь:

Таким образом, искомое число  можно получить, если недостающую часть схемы Рауса дополнить схемами Рауса для  и,  и ,  и  и т. д., т. е. несколько раз применять правило Рауса для ликвидации особенностей 2-го типа.

Пример.

Примечание. Не изменяя знаков элементов первого столбца, можно все элементы какой-либо строки помножить на одно и то же число. Это замечание было использовано при построении схемы.

4. Однако применение обоих правил Рауса не дает возможности во всех случаях определить число . Применение первого правила (введение малых параметров ) обосновано лишь в том случае, когда многочлен  не имеет корней на мнимой оси.

Если многочлен  имеет корни на мнимой оси, то при варьировании параметра е некоторые из этих корней могут перейти в правую полуплоскость и изменить число

Пример.

Схема

Вопрос, чему равно , остается открытым.

В общем случае, когда  имеет корни на мнимой оси, следует поступать так:

Полагая , где

,

следует найти наибольший общий делитель  многочленов  и . Тогда .

Если  имеет корень , для которого  снова является корнем (этим свойством обладают и все корни на мнимой оси), то из  и  следует: , , т. е.  является корнем . Поэтому многочлен  не имеет корней , для которых  является корнем . Тогда

где  и  - числа корней в правой полуплоскости многочленов  и  ; определяется по алгоритму Рауса, а , где  - степень , а  - число вещественных корней многочлена .

В последнем примере

,

Поэтому (см. пример на стр. 476) здесь ,  и, следовательно,

.