Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 5. Теорема Ляпунова

Из исследований А. М. Ляпунова, опубликованных в 1892 г. в его монографии «Общая задача об устойчивости движения», вытекает теорема, дающая необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни характеристического уравнения  вещественной матрицы  имели отрицательные вещественные части. Поскольку любой многочлен   может быть представлен в виде характеристического определителя , то теорема Ляпунова носит общий характер и относится к любому алгебраическому уравнению .

Пусть дана вещественная матрица  и однородный многочлен -го измерения относительно переменных  

    

Найдем полную производную по  от функции  в предположении, что  есть решение дифференциальной системы . Тогда

   (21)

где  - снова однородный многочлен -го измерения относительно . Равенство (21) определяет линейный оператор , относящий каждому однородному многочлену -го измерения  некоторый однородный многочлен  того же измерения

.

Мы ограничимся случаем . В этом случае  и  - квадратичные формы от переменных , связанные равенством

      (22)

откуда

                                        (23)

Здесь  и  - симметрические матрицы, составленные соответственно из коэффициентов форм  и . Линейный оператор  в пространстве симметрических матриц -го порядка  целиком определяется заданием матрицы .

Если  - характеристические числа матрицы , то каждое характеристическое число оператора  представляется в виде  .

Действительно, пусть  - собственный вектор-столбец матрицы , соответствующий характеристическому числу , т. е.  , и пусть . Тогда

     (23')

Если все величины   различны между собой, то из равенств (23') следует, что эти величины образуют полную систему характеристических чисел оператора . Общий случай, когда среди сумм  имеются равные между собой, получается из рассмотренного случая с помощью соображений непрерывности.

Из доказанного предложения следует, что оператор  является неособенным, матрица  не имеет нулевых и двух противоположных характеристических чисел. В этом случае задание матрицы  - однозначно определяет матрицы  в (23).

Таким образом, если матрица  не имеет нулевых и двух противоположных характеристических чисел, то каждой квадратичной форме  отвечает одна и только одна квадратичная форма , связанная с  равенством (22).

Теперь сформулируем теорему Ляпунова.

Теорема 3 (Ляпунова). Если все характеристические числа вещественной матрицы  имеют отрицательные вещественные части, то любой отрицательно определенной квадратичной форме  отвечает положительно определенная квадратичная форма , связанная с формой  в силу уравнения

                                                               (24)

равенством

                                           (25)

Обратно, если для некоторой отрицательно определенной формы  существует положительно определенная форма , связанная с  равенством (25) в силу уравнения (24), то все характеристические числа матрицы  имеют отрицательные вещественные части.

Доказательство. 1. Пусть все характеристические числа матрицы  имеют отрицательные вещественные части. Тогда для любого решения  системы (24) имеем: . Пусть формы  и  связаны формулой (25) и  .

Допустим, что при некотором

.

Но  . Поэтому при  величина  отрицательна и убывает при , что находится в противоречии с равенством . Следовательно,  при , т. е.  - положительно определенная квадратичная форма.

2. Пусть, обратно, дано, что в равенстве (25)

,  .

Из (25) следует:

   (25')

Докажем, что при произвольном  столбец  как угодно близко подходит к нулю при некоторых сколь угодно больших значениях . Допустим противное. Тогда существует число  такое, что

   .

Но тогда из (25')

и, следовательно, при некоторых достаточно больших значениях  справедливо неравенство , что противоречит условию.

Из доказанного следует, что при некоторых достаточно больших значениях  величина   будет как угодно близка к нулю. Но  монотонно убывает при , поскольку . Поэтому .

Отсюда вытекает, что при любом  имеет место равенство , т. е. . Это возможно лишь тогда, когда все характеристические числа матрицы  имеют отрицательные вещественные части (см. гл. V, § 6).

Теорема доказана полностью.

В качестве формы  в теореме Ляпунова можно взять любую отрицательно определенную форму и, в частности, форму . В этом случае теорема допускает следующую матричную формулировку:

Теорема 3'. Для того чтобы все характеристические числа вещественной матрицы  имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы матричное уравнение

                                                    (26)

имело в качестве решения  матрицу коэффициентов некоторой положительно определенной квадратичной формы .

Из доказанной теоремы вытекает критерий для определения устойчивости нелинейной системы по ее линейному приближению.

Пусть требуется доказать асимптотическую устойчивость нулевого решения нелинейной системы дифференциальных уравнений (1) (стр. 419) в том случае, когда коэффициенты   в линейных членах правых частей уравнений образуют матрицу , имеющую только характеристические числа с отрицательными вещественными частями. Тогда, определяя положительно определенную форму  при помощи матричного уравнения (26) и вычисляя ее полную производную по времени в предположении, что  есть решение системы (1), будем иметь:

где  - ряд, содержащий члены третьего и более высоких измерений относительно . Поэтому в некоторой достаточно малой окрестности точки  для любого  одновременно

,

Согласно общему критерию устойчивости Ляпунова это и означает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений.

Если из матричного уравнения (26) выразить элементы матрицы  через элементы матрицы  и полученные выражения подставить в неравенства

то мы получим неравенства, которым должны удовлетворять элементы матрицы  для того, чтобы все характеристические числа матрицы имели отрицательные вещественные части. Однако в значительно более простом виде эти неравенства могут быть получены из критерия Рауса — Гурвица, которому посвящается следующий параграф.

Примечание. Теорема Ляпунова (3) или (3') непосредственно обобщается на случаи произвольной комплексной матрицы . В этом случае квадратичные формы  и  заменяются эрмитовыми

,

В соответствии с этим матричное уравнение (26) заменится уравнением

 .

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>