§ 5. Теорема Ляпунова

Из исследований А. М. Ляпунова, опубликованных в 1892 г. в его монографии «Общая задача об устойчивости движения», вытекает теорема, дающая необходимые и достаточные условия для того, чтобы все корни характеристического уравнения вещественной матрицы имели отрицательные вещественные части. Поскольку любой многочлен может быть представлен в виде характеристического определителя , то теорема Ляпунова носит общий характер и относится к любому алгебраическому уравнению .

Пусть дана вещественная матрица и однородный многочлен -го измерения относительно переменных

Найдем полную производную по от функции в предположении, что есть решение дифференциальной системы . Тогда

(21)

где - снова однородный многочлен -го измерения относительно . Равенство (21) определяет линейный оператор , относящий каждому однородному многочлену -го измерения некоторый однородный многочлен того же измерения

Мы ограничимся случаем . В этом случае и - квадратичные формы от переменных , связанные равенством

(22)

откуда

(23)

Здесь и - симметрические матрицы, составленные соответственно из коэффициентов форм и . Линейный оператор в пространстве симметрических матриц -го порядка целиком определяется заданием матрицы .

Если - характеристические числа матрицы , то каждое характеристическое число оператора представляется в виде .

Действительно, пусть - собственный вектор-столбец матрицы , соответствующий характеристическому числу , т. е. , и пусть . Тогда

(23')

Если все величины различны между собой, то из равенств (23') следует, что эти величины образуют полную систему характеристических чисел оператора . Общий случай, когда среди сумм имеются равные между собой, получается из рассмотренного случая с помощью соображений непрерывности.

Из доказанного предложения следует, что оператор является неособенным, матрица не имеет нулевых и двух противоположных характеристических чисел. В этом случае задание матрицы - однозначно определяет матрицы в (23).

Таким образом, если матрица не имеет нулевых и двух противоположных характеристических чисел, то каждой квадратичной форме отвечает одна и только одна квадратичная форма , связанная с равенством (22).

Теперь сформулируем теорему Ляпунова.

Теорема 3 (Ляпунова). Если все характеристические числа вещественной матрицы имеют отрицательные вещественные части, то любой отрицательно определенной квадратичной форме отвечает положительно определенная квадратичная форма , связанная с формой в силу уравнения

(24)

равенством

(25)

Обратно, если для некоторой отрицательно определенной формы существует положительно определенная форма , связанная с равенством (25) в силу уравнения (24), то все характеристические числа матрицы имеют отрицательные вещественные части.

Доказательство. 1. Пусть все характеристические числа матрицы имеют отрицательные вещественные части. Тогда для любого решения системы (24) имеем: . Пусть формы и связаны формулой (25) и .

Допустим, что при некотором

Но . Поэтому при величина отрицательна и убывает при , что находится в противоречии с равенством . Следовательно, при , т. е. - положительно определенная квадратичная форма.

2. Пусть, обратно, дано, что в равенстве (25)

, .

Из (25) следует:

(25')

Докажем, что при произвольном столбец как угодно близко подходит к нулю при некоторых сколь угодно больших значениях . Допустим противное. Тогда существует число такое, что

Но тогда из (25')

и, следовательно, при некоторых достаточно больших значениях справедливо неравенство , что противоречит условию.

Из доказанного следует, что при некоторых достаточно больших значениях величина будет как угодно близка к нулю. Но монотонно убывает при , поскольку . Поэтому .

Отсюда вытекает, что при любом имеет место равенство , т. е. . Это возможно лишь тогда, когда все характеристические числа матрицы имеют отрицательные вещественные части (см. гл. V, § 6).

Теорема доказана полностью.

В качестве формы в теореме Ляпунова можно взять любую отрицательно определенную форму и, в частности, форму . В этом случае теорема допускает следующую матричную формулировку:

Теорема 3'. Для того чтобы все характеристические числа вещественной матрицы имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы матричное уравнение

(26)

имело в качестве решения матрицу коэффициентов некоторой положительно определенной квадратичной формы .

Из доказанной теоремы вытекает критерий для определения устойчивости нелинейной системы по ее линейному приближению.

Пусть требуется доказать асимптотическую устойчивость нулевого решения нелинейной системы дифференциальных уравнений (1) (стр. 419) в том случае, когда коэффициенты в линейных членах правых частей уравнений образуют матрицу , имеющую только характеристические числа с отрицательными вещественными частями. Тогда, определяя положительно определенную форму при помощи матричного уравнения (26) и вычисляя ее полную производную по времени в предположении, что есть решение системы (1), будем иметь:

где - ряд, содержащий члены третьего и более высоких измерений относительно . Поэтому в некоторой достаточно малой окрестности точки для любого одновременно

Согласно общему критерию устойчивости Ляпунова это и означает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы дифференциальных уравнений.

Если из матричного уравнения (26) выразить элементы матрицы через элементы матрицы и полученные выражения подставить в неравенства

то мы получим неравенства, которым должны удовлетворять элементы матрицы для того, чтобы все характеристические числа матрицы имели отрицательные вещественные части. Однако в значительно более простом виде эти неравенства могут быть получены из критерия Рауса — Гурвица, которому посвящается следующий параграф.

Примечание. Теорема Ляпунова (3) или (3') непосредственно обобщается на случаи произвольной комплексной матрицы . В этом случае квадратичные формы и заменяются эрмитовыми

В соответствии с этим матричное уравнение (26) заменится уравнением