§ 6. Теорема Рауса-Гурвица

В предыдущих параграфах был изложен непревзойденный но своей простоте метод Рауса для определения числа  корней в правой полуплоскости вещественного многочлена, коэффициенты которого заданы как конкретные числа. Если же коэффициенты многочлена зависят от параметров и требуется определить, при каких значениях параметров число  будет иметь то или другое значение и, в частности, значение 0 (область устойчивости!), то желательно иметь конкретные выражения для величин  через коэффициенты данного многочлена. Разрешив эту задачу, мы получим метод определения числа  и, в частности, критерий устойчивости в том виде, в каком он был установлен Гурвицем [129].

Рассмотрим снова многочлен

  

Назовем матрицей Гурвица квадратную матрицу -го порядка

         (27)

Преобразуем эту матрицу, вычитая из второй, четвертой, ... соответственно первую, третью, ... строки, предварительно помноженные на .

Получим матрицу

Здесь, , … – третья строка схемы Рауса, дополненная нулями (). Полученную матрицу снова преобразуем, вычитая из третьей, пятой, ... строки соответственно вторую, четвертую, ... строки, предварительно помноженные на :

.

Продолжая этот процесс далее, мы придем в конце концов к угольной матрице -го порядка

,

которую назовем матрицей Рауса. Она получается из схемы Рауса [см. (15)] 1) отбрасыванием первой строки, 2) сдвигом строк вправо так, чтобы их первые элементы пришлись на главную диагональ, и 3) пополнением пулями до квадратной матрицы -го порядка.

Определение 2. Две матрицы  назовем равносильными в том и только в том случае, если при любом  в первых  строках этих матриц соответствующие миноры -го порядка равны между собой:

.

Так как при вычитании из какой-либо строки матрицы какой-либо предыдущей строки, помноженной предварительно па произвольное число, миноры -го порядка в первых строках  не меняют своей величины, то согласно определению 2 матрицы Гурвица и Рауса  и  равносильны:

.               (28)

Равносильность матриц  и  позволяет выразить все элементы матрицы , т. е. элементы схемы Рауса, через миноры матрицы Гурвица  и, следовательно, через коэффициенты данного многочлена. Действительно, давая  в (28) последовательно значения , получим:

               (29)

и т.д. Отсюда находим следующие выражения для элементов схемы Рауса:

                        (30)

Последовательные главные миноры матрицы  обычно называются определителями Гурвица. Мы их будем обозначать через

    (31)

Замечание 1. Согласно формулам (29)

                                            (32)

Из  следует, что первые  из числа  отличны от нуля и наоборот; в этом случае определены  подряд идущих строк схемы Рауса, начиная с третьей, и для них имеют место формулы (30).

Замечание 2. Регулярный случай (все  имеют смысл и не равны нулю) характеризуется неравенствами

Замечание 3. Определение элементов схемы Рауса при помощи формул (30) является более общим, нежели определение при помощи алгоритма Рауса. Так, например, если , то алгоритм Рауса нам не дает ничего, кроме первых двух строк, составленных из коэффициентов данного многочлена. Однако, если при  остальные определители  отличны от нуля, мы при помощи формул (30), минуя строку из , можем определить все последующие строки схемы Рауса.

Согласно формулам (32)

и потому

.

Поэтому теорема Рауса может быть сформулирована так:

Теорема 4 (Рауса-Гурвица). Число  корней вещественного многочлена , расположенных в правой полуплоскости, определяется формулой

                    (33)

или (что то же)

.                      (33’)

Примечание. Приведенная формулировка теоремы Рауса-Гурвица предполагает, что имеет место регулярный случай

В § 8 мы покажем, как пользоваться этой формулой в особых случаях, когда некоторые из определителей Гурвица  равны нулю.

Рассмотрим теперь тот частный случай, когда все корни многочлена  расположены в левой полуплоскости . В этом случае согласно критерию Рауса все  должны быть отличны от нуля и одного знака. Так как здесь мы имеем дело с регулярным случаем, то получаем из (33) при  следующий критерий:

Теорема 5 (Критерий Рауса-Гурвица). Для того чтобы у вещественного многочлена  все корни имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства

              (34)

Примечание. Если , то эти условия записываются так:

.                                                     (35)

Если принять обычные обозначения для коэффициентов многочлена , то при  условия Рауса-Гурвица (35) записываются в виде следующих детерминантных неравенств:

               (35’)

Вещественный многочлен , коэффициенты которого удовлетворяют условиям (34), т. е. вещественный многочлен, у которого все корни имеют отрицательные вещественные части, обычно называют многочленом Гурвица.

Отметим два замечательных свойства схемы Рауса:

1. Обозначим элементы -й строки схемы Рауса через ; тогда . Здесь  определитель Гурвица, а  при  – «побочный» определитель Гурвица -го порядка. Между элементами схемы Рауса имеет место основная зависимость [см. формулы (13), (13') на стр. 473]:

Элементы любой -й строки схемы Рауса получаются из элементов двух последующих строк с помощью двух операций – умножения на отношение  и сложения. Поэтому (в регулярном случае!) элементы произвольной -й строки схемы Рауса могут быть выражены с помощью операций сложения и умножения через элементы последних двух строк  и  и через отношения  и представлены в виде

                                   (36)

где  – многочлены с целыми положительными коэффициентами.

С помощью формул (36) все элементы схемы Рауса и, в частности (при ), коэффициенты исходного многочлена рационально выражаются (и притом с положительными коэффициентами) через элементы первого столбца схемы Рауса.

Если выполняется критерий Рауса, т. е. все элементы первого столбца схемы Рауса положительны, то из формулы (36) непосредственно следует, что в этом случае все элементы схемы Рауса и, в частности, коэффициенты основного многочлена, положительны.

Заметим еще, что, заменяя в формулах (36) величины  через отношения , можно рационально (с положительными коэффициентами) выразить побочные определители Гурвица  через основные.

2. Пусть  строки схемы . Так как эти две строки вместе с последующими образуют самостоятельную схему Рауса, то элементы -й строки (в первоначальной схеме) выражаются через элементы  -й и -й строк,  – по тем же формулам, по каким элементы -й строки выражаются через элементы первых двух строк , т. е., полагая

,

будем иметь:

                                (37)

Определитель Гурвица   равен произведению первых  чисел в ряду :

Но

Поэтому имеет место следующее важное соотношение:

                                                           (38)

Формула (38) имеет место всегда, если только определены числа , т. е. при условии .

Формулы (37) имеют смысл, если дополнительно к условиям  выполняется и условие . Из этого условия уже следует, что и знаменатель дроби, стоящей в правой части равенства (37), не равен нулю: .