§ 7. Формула Орландо
При рассмотрении случаев, когда некоторые из определителей Гурвица равны нулю, нам понадобится следующая формула Орландо [137], выражающая определитель
через старший коэффициент
и корни
многочлена 
(39)
При
эта формула сводится к известной формуле для коэффициента
в квадратном уравнении
:
.
Допустим теперь, что формула (39) справедлива для многочлена
-й степени
и покажем, что она справедлива для многочлена
-й степени
.
Для этого составим вспомогательный определитель
-го порядка
.
Помножим первую строку
на
и прибавим к ней вторую, помноженную на –
, третью, помноженную на
четвертую – на –
и т.д. Тогда все элементы первой строки, кроме последнего, обратятся в нуль, а последний элемент будет равен
. Отсюда легко заключаем, что
.
С другой стороны, прибавляя к каждой (кроме последней) строке определителя
последующую, помноженную на
, мы получим помноженный на
определитель Гурвица
-го порядка для многочлена
:

Таким образом,
.
Заменяя здесь
на его выражение из (39) и полагая
, получаем:
.
Таким образом, методом математической индукции установлена справедливость формулы Орландо для многочлена любой степени.
Из формулы Орландо следует, что
тогда и только тогда, когда сумма двух корней многочлена
равна нулю.
Так как
, где
– свободный член многочлена
, то из (39) следует:
(40)
Последняя формула показывает, что
обращается в нуль тогда и только тогда, когда у
существует такой корень
, что и
является корнем.