§ 8. Особые случаи в теореме Рауса — Гурвица

При рассмотрении особых случаев, когда некоторые из определителей Гурвица равны нулю, мы можем предполагать, что  (и, следовательно, ).

Действительно, если , то, как было выяснено в конце предыдущего параграфа, вещественный многочлен  имеет такой корень, для которого  также является корнем . Если положить , где

то из равенств  можно заключить, что . Следовательно,  будет корнем наибольшего общего делителя  многочленов  и . Полагая , мы сведем задачу Рауса-Гурвица для  к такой же задаче для многочлена , для которого уже последний определитель Гурвица отличен от нуля.

1. Рассмотрим сначала тот случай, когда

                                        (41)

Из  следует:; из  вытекает: Но тогда автоматически

.

Из

следует: , а тогда  и т. д.

Приведенные рассуждения показывают, что в (41) всегда — нечетное число: . При этом ,  и

, .      (42)

Проварьируем, т. е. изменим немного, коэффициенты так, чтобы при новых проварьированных значениях  все определители Гурвица  стали отличными от нуля и чтобы при этом определители  сохранили свои прежние знаки. Мы будем считать  «малыми» величинами разного порядка «малости», а именно мы примем, что каждое  по абсолютной величине «значительно» меньше   ). Последнее означает, что при вычислении знака целого алгебраического выражения относительно  мы можем пренебрегать членами, в которых некоторые  имеют индекс по сравнению с членами, где все  имеют индекс . После этого мы легко найдем «знакоопределяющие» члены в :

и т. д.; вообще

                            (43)

Выберем  положительными; тогда знаки  определятся из формулы

.                                   (44)

При любом малом варьировании коэффициентов многочлена число  остается неизменным, поскольку многочлен  не имеет корней на мнимой оси. Поэтому, исходя из (44), мы определяем число корней в правой полуплоскости по формуле

                           (45)

Элементарный подсчет, проведенный па основании формул (42) и (44), показывает, что

.             (46)

Заметим, что величина, стоящая в левой части равенства (46), не зависит от способа варьирования коэффициентов и при любых малых варьированиях сохраняет одно и то же значение. Это следует из формулы (45), поскольку  не меняет своего значения при малом варьировании коэффициентов.

2. Пусть теперь при

,                                                      (47)

а все остальные определители Гурвица отличны от нуля.

Обозначим через  и  элементы -й -й строки в схеме Рауса .Соответствующие определители Гурвица обозначим через . По формуле (38) (стр. 488)

       (48)

Отсюда на основании п. 1 следует:  — нечетное, т. е. .

Проварьируем коэффициенты  так, чтобы все определители Гурвица стали отличными от нуля и чтобы те из них, которые до варьирования были отличны от нуля, сохранили свои знаки при варьировании. Тогда, исходя из (48), поскольку к определителям  применима формула (46), получим:

   (49)

Величина, стоящая в левой части (49), снова не зависит от способа варьирования.

3. Допустим теперь, что среди определителей Гурвица имеется  групп нулевых определителей. Докажем, что для каждой такой группы (47) величина, стоящая в левой части формулы (49), по зависит от способа варьирования и определяется этой формулой. Это утверждение нами доказано в случае . Допустим, что это справедливо при наличии  групп, и докажем, что оно верно для  групп. Пусть (47) — вторая из v групп; определим определители  так, как это было сделано в п. 2; тогда при варьировании

Поскольку в правой части этого равенства имеется только  групп нулевых определителей, то наше утверждение имеет место для правой и, следовательно, и для левой частей равенства. Другими словами, формула (49) справедлива для второй, ..., -й групп нулевых определителей Гурвица. Но тогда из формулы

следует, что величина  не зависит от способа варьирования, и для первой группы нулевых определителей, а потому и для этой группы имеет место формула (49).

Таким образом, нами доказано следующее дополнение к теореме Гаусса—Гурвица:

Теорема 4'. Если некоторые из определителей Гурвица равны нулю, но , то число корней вещественного многочлена  в правой полуплоскости определяется формулой

в которой при подсчете величины для каждой группы подряд идущих нулевых определителей ( – всегда нечетное число!)

следует положить:

,                                      (50)

где

.