§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена

Раус получил свой алгоритм, применяя теорему Штурма к вычислению индекса Коши правильной рациональной дроби специального типа [см. формулу (11) на стр. 473]. У этой дроби из двух многочленов – числителя и знаменателя – один содержит только четные, а другой только нечетные степени аргумента .

В настоящем параграфе и в последующих параграфах мы изложим более глубокий и более перспективный метод квадратичных форм Эрмита в применении к проблеме Рауса-Гурвица. При помощи этого метода мы получим выражение для индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты числителя и знаменателя. Метод квадратичных форм позволяет применить к проблеме Рауса-Гурвица результаты топких исследований Фробениуса по теории ганкелевых форм (гл. X, § 10) и установить тесную связь некоторых замечательных теорем П. Л. Чебышева и А. А. Маркова с задачей устойчивости.

Мы познакомим читателя с методом квадратичных форм сначала на сравнительно простой задаче определения числа различных вещественных корней многочлена.

При решении этой задачи мы можем ограничиться случаем, когда –  вещественный многочлен. Действительно, пусть дан комплексный многочлен  [и – вещественные многочлены]. Каждый вещественный корень многочлена  обращает в нуль одновременно и  и . Поэтому комплексный многочлен имеет те же вещественные корни, что и вещественный многочлен , являющийся  наибольшим общим делителем многочленов  и .

Итак, пусть – вещественный многочлен с различными корнями  соответственно кратностей :

.

Введем в рассмотрение суммы Ньютона

При помощи этих сумм составим ганкелеву форму

,

где  – любое целое число .

Тогда имеет место следующая

Теорема 6. Число всех различных корней многочлена  равно рангу, а число всех различных вещественных корней равно сигнатуре формы .

Доказательство. Из определения формы  непосредственно вытекает следующее ее представление:

                       (51)

Здесь каждому корню  многочлена  соответствует квадрат линейной формы . Формы  линейно независимы между собой, так как коэффициенты этих линейных форм образуют матрицу Вандермонда , ранг которой равен числу различных , т. е. . Следовательно (см. стр. 269), ранг  формы  равен .

В представлении (51) каждому вещественному корню  отвечает положительный квадрат. Каждой паре комплексно сопряженных корней  и отвечают две комплексно сопряженные формы:

;

соответствующие слагаемые в (51) в сумме дают один положительный и один отрицательный квадрат:

.

Отсюда легко усмотреть, что сигнатура формы , т. е. разность между числом положительных и числом отрицательных квадратов, равна числу различных вещественных

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы вытекает, что все формы

имеет один и тот же ранг и одну и ту же сигнатуру.

Применяя теорему 6 к определению числа различных вещественных корней, возьмем в качестве  степень многочлена . Используя установленное в главе X (стр. 275) правило определения сигнатуры квадратичной формы, мы получаем

Следствие. Число различных вещественных корней вещественного многочлена  равно избытку числа постоянств знака над числом перемен знака в ряду чисел

,                                      (52)

где  – суммы Ньютона для многочлена, а – ранг ганкелевой формы  [ – степень многочлена].

Сформулированное таким образом правило для определения числа различных вещественных корней непосредственно применимо лишь в случае, когда все числа в ряду (52) отличны от нуля. Однако, поскольку здесь идет речь о вычислении сигнатуры ганкелевой квадратичной формы, то на основе результатов главы X, § 10 это правило с надлежащими уточнениями применяется в самом общем случае (более подробно об этом см. § 11 этой главы).

Число различных вещественных корней вещественного многочлена  равно индексу  (см. стр. 470). Поэтому следствие из теоремы 6 даст нам формулу

.

В § 11 мы установим аналогичную формулу для индекса произвольной рациональной дроби. Необходимые для этого сведения о бесконечных ганке левых матрицах будут даны в следующем параграфе.