§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга

1. Пусть дана последовательность комплексных чисел

Эта последовательность чисел определяет бесконечную симметрическую матрицу

,

которую называют обычно ганкелевой. Наряду с бесконечными ганкслевыми матрицами рассматриваются конечные ганкелевы матрицы  и связанные с ними ганкелевы формы

.

Последовательные главные миноры матрицы  будем обозначать через :

.

Бесконечные матрицы могут быть конечного и бесконечного ранга. В последнем случае в этих матрицах существуют отличные от нуля миноры сколь угодно большого порядка. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие, которому должна удовлетворять последовательность чисел  для того, чтобы порождаемая ею бесконечная ганкелева матрица  имела конечный ранг.

Теорема 7. Бесконечная матрица  имеет конечный ранг  тогда и только тогда, когда существует  чисел  таких, что

                                           (53)

и  есть наименьшее число, обладающее этим свойством.

Доказательство. Если матрица  имеет конечный ранг , то первые  строк  этой матрицы линейно зависимы. Поэтому существует число  такое, что строки  линейно независимы, а строка  есть линейная комбинация этих строк:

.

Рассмотрим строки , где – любое целое неотрицательное число. Из структуры матрицы  непосредственно видно, что строки  получаются из строк  «укорочением», отбрасыванием элементов, стоящих в первых  столбцах. Поэтому

.

Таким образом, в матрице  любая строка, начиная с -й, выражается линейно через   предыдущих и, следовательно, выражается линейно через  линейно независимых первых строк. Отсюда следует, что для матрицы  ранг. Линейная зависимость  после замены  на   в более подробной записи дает (53).

Обратно, если выполняется условие (53), то в матрице  любая строка (столбец) является линейной комбинацией первых  строк (столбцов). Поэтому все миноры матрицы , порядок которых , равны нулю, и матрица  имеет конечный ранг . Но этот ранг не может быть , так как тогда, как было уже показано, имели бы место соотношения вида (53) при меньшем значении , а это противоречит условию 2). Таким образом, теорема доказана полностью.

Следствие. Если бесконечная ганкелева матрица  имеет конечный ранг , то

.

Действительно, из соотношений (53) следует, что любая строка (столбец) матрицы  есть линейная комбинация первых  строк (столбцов). Поэтому любой минор -го порядка матрицы  может быть представлен в виде , где  – некоторое число. Отсюда следует неравенство .

Примечание. Для конечных ганкелевых матриц ранга  неравенство  может не иметь места. Так, например, матрица  при  имеет ранг 1, в то время как .

2. Выясним замечательные взаимные связи между бесконечными ганкелевыми матрицами и рациональным функциями.

Пусть дана правильная рациональная дробная функция

,

где

Напишем разложение  в степенной ряд по отрицательным степеням :

Если все полюсы функции , т. е. все значения z, при которых обращается в бесконечность, лежат в круге , то ряд, стоящий в правой части разложения, сходится при . Обе части последнего равенства помножим на знаменатель :

.

Приравнивая между собой коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частях этого тождества, получим следующую систему соотношений:

                                              (54)

                        (54’)

Полагая

,

мы можем соотношения (54') записать в виде (53) (при ). Следовательно, согласно теореме 7 построенная при помощи коэффициентов  бесконечная ганкелева матрица

имеет конечный ранг.

Обратно, если матрица   имеет конечный ранг , то имеют место соотношения (53), которые могут быть переписаны в виде (54') (при ). Тогда, определяя числа  равенствами (54), будем иметь разложение

                                  (54”)

Наименьшая степень знаменателя , при которой имеет место это разложение, совпадает с наименьшим числом , при котором имеют место соотношения (53). По теореме 7 это наименьшее значение  равно рангу матрицы .

При этом значении  рациональная дробь, стоящая в левой части равенства (54”), является несократимой.

Таким образом, нами доказана следующая теорема:

Теорема 8. Матрица  имеет конечный ранг в том и только в том случае, когда сумма ряда

есть рациональная функция переменной . В этом случае ранг матрицы совпадает с числом полюсов функции, считая каждый полюс столько раз, какова его кратность.