§ 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты числителя и знаменателя

1. Пусть дана произвольная рациональная функция. Напишем ее разложение в ряд по нисходящим степеням :

(55)

Последовательность коэффициентов при отрицательных степенях

определяет бесконечную ганкелеву матрицу

Таким образом, устанавливается соответствии

Очевидно, что двум рациональным функциям, разность между которыми есть целая функция, отвечает одна и та же матрица. Однако не всякая матрица соответствует рациональной функции. В предыдущем параграфе было установлено, что матрица тогда и только тогда соответствует рациональной функции, когда эта бесконечная матрица имеет конечный ранг. Этот ранг равен числу полюсов (с учетом кратностей) функции , т. е. равен степени знаменателя в несократимой дроби . С помощью разложения (55) устанавливается взаимно однозначное соответствие между правильными рациональными функциями и ганкелевыми матрицами конечного ранга.

Отметим некоторые свойства соответствия:

1° Если , то любых числах

В дальнейшем нам придется встретиться со случаем, когда коэффициенты числителя и знаменателя будут целыми рациональными функциями параметра ; тогда и будет рациональной функцией от и . Из разложения (54) следует, что в этом случае и числа т. е. элементы матрицы , будут рационально зависеть от . Дифференцируя по почленно разложение (55), получим:

2° Если то .

2. Напишем разложение на простейшие дроби:

(56)

где— многочлен, и покажем, как по числам и построить матрицу , соответствующую рациональной функции

Для этого рассмотрим сначала простейшую рациональную дробь

Ей отвечает матрица

Соответствующая этой матрице форма имеет вид

Если

то в силу 1° соответствующая матрица определится по формуле

а соответствующие квадратичные формы имеют вид

Для того чтобы перейти к общему случаю (56), мы предварительно раз продифференцируем почленно соотношение

Получим согласно 1° и 2°:

Поэтому, пользуясь снова правилом 1°, в общем случае, когда для имеет место разложение (56), находим:

(57)

Выполняя дифференцирование, получим:

(57’)

Соответствующая ганкелева форма будет равна

(57’’)

3. Теперь мы имеем возможность сформулировать и доказать основную теорему:

Теорема 9. Если

и — ранг матрицы , то индекс Коши равен сигнатуре формы при любом:

Доказательство. Пусть имеет место разложение (56). Тогда согласно (57)

где каждое слагаемое имеет вид

(58)

Согласно теореме 8 ранг матрицы и, следовательно, ранг формы равен , а ранг равен . Но если ранг суммы нескольких вещественных квадратичных форм равен сумме рангов слагаемых форм, то такое же соотношение имеет место и для сигнатур:

(59)

Рассмотрим раздельно два случая:

1) вещественно. При любой вариации параметров и

(60)

ранг соответствующей матрицы будет оставаться неизменным ; следовательно, будет оставаться неизменной и сигнатура формы (см. стр. 280). Поэтому не изменится, если мы в (59) и (60) положим: и , т. е. вместо возьмем матрицу

Соответствующая квадратичная форма равна

Но сигнатура верхней формы всегда равна нулю, а сигнатура нижней формы равна . Таким образом, если вещественно, то

(61)

2) – комплексное число. Пусть

где – вещественные линейные формы переменных . Тогда

(62)

Так как ранг этой квадратичной формы равен , то линейно независимы, и потому согласно (62) при невещественном

(63)

Из (59), (61) и (63) вытекает:

Но на стр. 470 было выяснено, что сумма, стоящая в правой части этого равенства, равна . Таким образом, теорема доказана.

Из доказанной теоремы вытекает:

Следствие 1. Если и – ранг матрицы , то все квадратичные формы имеют одну и ту же сигнатуру.

В главе X, § 10 (стр. 305, 306) было установлено правило вычисления сигнатуры ганкелевой квадратичной формы, причем исследования Фробениуса дали возможность сформулировать правило с охватом всех особых случаев. Согласно доказанной теореме этим правилом можно пользоваться для вычисления индекса Коши. Таким образом, получаем

Следствие 2. Индекс произвольной рациональной функции , которой соответствует матрица ранга , определяется по формуле

, (64)

где

(65)

если среди определителей имеется группа подряд идущих определителей, равных нулю

то при вычислении можно принять:

что дает:

(66)

Для того чтобы выразить индекс рациональной функции через коэффициенты числителя и знаменателя, нам понадобятся некоторые вспомогательные соотношения.

Прежде всего всегда можно представить в виде

где – многочлены, причем

Очевидно,

Пусть

Тогда, освобождаясь здесь от знаменателя и после этого приравнивая друг другу коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства, получаем:

(67)

Пользуясь соотношениями (67), находим выражение для следующего определителя -го порядка, в котором кладем , при :

(68)

Введем сокращенное обозначение

(69)

Тогда формула (68) запишется так:

(68’)

В силу этой формулы следствие 2 на стр. 502 приводит нас к следующей теореме:

Теорема 10. Если , то

(70)

где определяется формулой (69); если при этом имеются подряд идущие нулевые определители

то в формуле (70) при подсчете следует положить:

или, что то же,

Замечание. Если , т. е. дробь, стоящая под знаком индекса в формуле (70), сократима, то формулу (70) следует заменить формулой

(70’)

где – число полюсов (с учетом кратностей) рациональной дроби, стоящей под знаком индекса (т. е. – степень знаменателя после сокращения дроби). Здесь .

Действительно, если , то интересующий нас индекс равен

так как число является рангом соответствующей матрицы . Но равенство (68') имеет формальный характер и оно справедливо и для сократимой дроби. Поэтому

и мы приходим к формуле (70')

Формула (70') дает возможность выразить индекс любой рациональной дроби, у которой степень числителя не превышает степени знаменателя, через коэффициенты числителя и знаменателя.