§ 12. Второе доказательство теоремы Рауса—Гурвица

В § 6 мы доказали теорему Рауса—Гурвица, опираясь на теорему Штурма и алгоритм Рауса. В этом параграфе мы дадим доказательство теоремы Рауса—Гурвица, основанное на теореме 10 § 11 и на свойствах индексов Коши.

Отметим некоторые свойства индексов Кош и, которые нам понадобятся в дальнейшем.

1°  

2° .

3°. Если, то , где , если  — конечная величина, и , если в точке с функция  обращается в бесконечность; при этом  соответствует переходу в точке от  к  (при возрастании ), а  – переходу от  к .

4° Если  то . Если , то .

5° , где  – знак  внутри  вблизи ,  – знак  внутри  вблизи .

Первые четыре свойства непосредственно следуют из определения индекса Коши (см. § 2). Свойство 5° вытекает из того, что сумма индексов  равна разности  где – число перемен знака  с переходом от отрицательных значений к положительным при изменении  от  до ,  – число перемен знака  с переходом от положительных к отрицательным значениям.

Рассмотрим вещественный многочлен

Мы его можем представить в виде

,

где

Введем обозначение

                                                  (71)

В § 3 мы показали [см. (20) на стр. 475], что

,

где — число корней многочлена  с положительными вещественными частями, a  — число корней , расположенных на мнимой оси.

Преобразуем выражение (71) для .

Рассмотрим сначала случай четного . Пусть . Тогда

.

Пользуясь свойствами 1°—4° и полагая , если соответственно  в остальных случаях, будем иметь:

Точно так же при n нечетном, , имеем:

.

Полагая , если  в остальных случаях, найдем:

Таким образом,

                                         (73’)

                                     (73’’)

По-прежнему через  будем обозначать определители Гурвица для данного многочлена . Примем, что .

1) . По формуле (70)

                                             (74)

.               (75)

Но тогда согласно (73')

,                                                 

что в соединении с равенством  дает:

                                                     (76)

2) . По формуле (70),

,                                                            (77)

                   (78)

Равенство  вместе с равенствами (73’’), (77) и (78) дает нам снова формулу (76).

Теорема Рауса — Гурвица доказана (см. стр. 486).

Замечание 1. Если в формуле

некоторые промежуточные определители Гурвица равны нулю, то формула сохраняет силу и в этом случае, только в каждой группе подряд идущих нулевых определителей

следует приписать этим определителям (в соответствии с теоремой 7) знаки

,

что дает:

           (79)

Внимательное сопоставление этого правила вычисления  при наличии нулевых определителей Гурвица с правилом, данным в теореме 5 (стр. 492), показывает, что оба правила совпадают.

Замечание 2. Если , то многочлены  и не являются взаимно простыми. Обозначим через  наибольший общий делитель многочленов  и , а через  – наибольший общий делитель  и  ( или 1). Степень  обозначим через  и положим  и .

Несократимой рациональной дроби  всегда соответствует некоторая бесконечная ганкелева матрица  ранга , где  – степень . При этом соответствующий определитель , а . В силу формулы (68’) . Кроме того,

.

Применяя все это к дробям, стоящим под знаком индекса в (74), (75), (77) и (78), мы легко найдем, что при любом  (четном и нечетном) и

и что все формулы (74), (75), (77) и (78) сохраняют свою силу и в рассматриваемом случае, если в правых частях этих формул опустить все  при  и заменить число  [а в формуле (77) число ] на степень соответствующего знаменателя подиндексной дроби после ее сокращения. Тогда мы получим с учетом (73') и (73"):

.

Вместе с формулой  это дает:

,

где  – число всех корней , лежащих в правой полуплоскости, за исключением тех, которые одновременно являются корнями и многочлена .