Глава III. Линейные операторы в n-мерном векторном пространстве

Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линейных операций в -мерном пространстве. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства, присущие всем матрицам одного и того же класса.

В настоящей главе излагаются наиболее простые свойства линейных операторов в -мерном пространстве. Дальнейшее исследование линейных операторов в -мерном пространстве будет продолжено в главах VII и IX.

§ 1. Векторное пространство

1. Пусть дана некоторая совокупность  произвольных злементов , в которой определены две операции: операция «сложения» и операция «умножения на число из поля ». Допустим, что эти операции всегда выполнимы и однозначны в  и для любых элементов  из  и чисел  из :

1° .

2° .

3° Существует такой элемент  в , что произведение числа  на любой элемент  из  равно элементу :

.

4° .

5° .

6° .

7° .

Определение 1. Совокупность элементов , в которой всегда выполнимы и однозначны две операции: «сложение» элементов и умножение элемента из  на число из », причем эти операторы удовлетворяют постулатам 1°—7°, мы будем называть векторным пространством (над полем ), а сами элементы — векторами.

Определение 2. Векторы  из  называются линейно зависимыми, если существуют такие числа  из , не равные одновременно нулю, что

.                                          (1)

В случае, если не существует подобной линейной зависимости, векторы  из называются линейно независимыми.

Если векторы  линейно зависимы, то один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных с коэффициентами из поля . Так, например, если в (1) , то

.

Определение 3. Пространство  называется конечномерным, а число — числом измерений этого пространства, если в  существует  линейно независимых векторов, в то время как любые  векторов из  линейно зависимы. Если же в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным.

В настоящей книге в основном изучаются конечномерные пространства.

Определение 4. Система из линейно независимых заданных в определенном порядке векторов  в - мерном пространстве называется базисом этого пространства.

2. Пример 1. Совокупность обычных векторов (направленных геометрических отрезков) является трехмерным векторным пространством. Часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельпых некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

Пример 2. Столбец из  чисел поля  назовем вектором (—фиксированное число). Основные операции определим как операции над столбцевыми матрицами:

,

.

Элементом нуль будет столбец . Легко проверить, что все постулаты 1°—7° выполняются. Эти векторы образуют -мерное пространство. В качестве базиса этого пространства можно, например, взять столбцы единичной матрицы -го порядка:

, , …, .

Пространство, рассмотренное в этом примере, часто называют численным -мерным пространством.

Пример 3. Совокупность бесконечных последовательностей (), в которой операции определены естественным образом, т. е.

,

,

представляет собой бесконечномерное пространство.

Пример 4. Совокупность многочленов  степени  с коэффициентами из  представляет собой -мерное векторное пространство. Базисом такого пространства является, например, система степеней .

Все же такие многочлены (без ограничения степени) образуют бесконечномерное пространство.

Пример 5. Все функции, определенные в замкнутом интервале , образуют бесконечномерное пространство.

3. Пусть векторы  образуют базис -мерного векторного пространства , а —произвольный вектор этого пространства. Тогда векторы  линейно зависимы (ибо число их равно ):

,

где по крайней мере одно из чисел , отлично от нуля. Однако в данном случае , так как векторы , не могут быть связаны линейной зависимостью. Поэтому

,                                    (2)

где   ().

Заметим, что числа  однозначно определяются заданием вектора  и базиса . В самом деле, если наряду с (2) имеется другое разложение для вектора :

,                                    (2')

то, вычитая почленно (2) из (2'), получим:

,

откуда в силу линейной независимости векторов базиса следует

,

т. е.

, , …, .                               (3)

Числа  называются координатами вектора  в базисе .

Если

,   ,

то

,   ,

т. е. координаты суммы векторов получаются почленным сложением соответствующих координат слагаемых векторов и при умножении вектора на число  все координаты вектора умножаются на это число.

4. Пусть векторы

      

линейно зависимы, т. е.

,                                                          (4)

где по крайней мере одно из чисел  не равно нулю.

Если вектор равен нулю, то все его координаты равны нулю. Поэтому векторное равенство (4) эквивалентно следующей системе скалярных равенств:

                     (4')

Эта система однородных линейных уравнений относительно , как известно, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных, т. е. меньше . Поэтому равенство этого ранга числу  является необходимым и достаточным условием для линейной независимости векторов .

Таким образом, имеет место следующая

Теорема 1. Для того чтобы векторы  были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг  матрицы, составленной из координат этих векторов в произвольном базисе,

был равен , т. е. числу векторов.

3амечание. Линейная независимость векторов  означает линейную независимость столбцов матрицы , поскольку в -м столбце стоят координаты вектора  . Поэтому, согласно теореме, если в прямоугольной матрице столбцы линейно независимы, то ранг матрицы равен числу столбцов. Отсюда следует, что в произвольной прямоугольной матрице максимальное число линейно независимых столбцов равно рангу матрицы. Кроме того, если мы транспонируем матрицу, т. е. строки делаем столбцами (и наоборот), то ранг матрицы при этом, очевидно, не меняется. Поэтому в прямоугольной матрице всегда число линейно независимых столбцов равно числу линейно независимых строк и равно рангу матрицы.

5. Если -мерном пространстве выбран базис , то каждому вектору  однозначно отвечает столбец , где  — координаты вектора  в данном базисе. Таким образом, задание базиса устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами произвольного -мерного векторного пространства  и векторами -мерного численного пространства , рассмотренного в примере 2. При этом сумме векторов из  отвечает сумма соответствующих векторов из . Аналогичное имеет место и для произведения вектора на число  из . Другими словами, произвольное -мерное векторное пространство изоморфно численному -мерному пространству и, следовательно, все векторные пространства одного и того же числа измерений  над одним и тем же числовым полем  изоморфны между собой. Это означает, что с точностью до изоморфизма существует только одно -мерное векторное пространство при заданном числовом поле.

Может возникнуть вопрос, зачем мы ввели «абстрактное» -мерное пространство, если с точностью до изоморфизма оно совпадает с -мерным численным пространством. Действительно, можно было бы определить вектор как систему  чисел, заданных в определенном порядке, и установить операцию над этими векторами, как это было сделано в примере 2. Но при этом смешались бы воедино свойства вектора, не зависящие от выбора базиса, со свойствами специального базиса. Например, равенство нулю всех координат вектора есть свойство самого вектора; оно не зависит от выбора базиса. Равенство между собой всех координат вектора не есть свойство самого вектора, ибо при изменении базиса оно исчезает. Аксиоматическое определение векторного пространства непосредственно выделяет свойства векторов, не зависящие от выбора базиса.

6. Если некоторая совокупность векторов  составляющая часть , обладает тем свойством, что сумма любых двух векторов из  и произведение любого вектора из  на число  всегда принадлежат , то такое многообразие  само является векторным пространством, подпространством в .

Если даны два пространства  и  в  и известно, что

1°  и  не имеют общих векторов, кроме нуля, и

2° любой вектор  из  представляется в виде суммы

   ,                              (5)

то мы будем говорить пространство  расцепляется на два подпространства  и  и будем писать:

.                                                          (6)

Заметим, что условие 1° означает единственность представления (5). В самом деле, если бы для некоторого пространства  мы имели два разных представления в виде суммы слагаемых из  и , представление (5) и представление

   ,                             (7)

то, вычитая почленно (7) из (5), мы получили бы:

,

т. е. равенство между отличными от нуля векторами  и , что невозможно в силу 1°.

Таким образом, условие 1° можно заменить требованием единственности представления (5). В таком виде определение расщепления непосредственно распространяется на любое число слагаемых подпространств.

Пусть

и  и — базисы соответственно  и . тогда читатель без труда докажет, что все эти  векторов линейно независимы и образуют базис в , т. е. что из базисов слагаемых подпространств составляется базис всего пространства. В частности, отсюда будет следовать что .

Пример 1. Пусть в пространстве трех измерений даны три непараллельных одной и той же плоскости направления. Так как любой вектор в пространстве можно разложить на составляющие по этим трем направлениям, по этим трем направлениям, притом единственным образом, то

,

где — совокупность всех вектором нашего пространства, — совокупность всех векторов, параллельных первому направлению,  — второму, — третьему. В данном случае , .

Пример 2. Пусть в пространстве трех измерений даны плоскость и пересекающая ее прямая. Тогда

,

где  — совокупность всех векторов нашего пространства,  — совокупность всех векторов, параллельных заданной плоскости, и  — совокупность всех векторов, параллельных заданной прямой. В этом примере , , .

Задание базиса  в пространстве  по существу означает некоторое расщепление всего пространства  на  одномерных подпространств.