§ 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в m-мерное

1. Рассмотрим линейное преобразование

                            (8)

коэффициенты которого принадлежат числовому полю , и два векторных пространства над этим полем: -мерное  и -мерное . Выберем в  некоторый базис  и в  некоторый базис .

Тогда преобразование (8) относит каждому вектору  из  некоторый вектор  из , т. е. преобразование (8) определяет некоторый оператор , относящий вектору  вектор : . Нетрудно видеть, что этот оператор  обладает свойством линейности, которое мы сформулируем так:

Определение 5. Оператор , отображающий  в  т. е. относящий каждому вектору  из  некоторый вектор  из , называется линейным, если для любых ,  из  и  из

, .                  (9)

Таким образом, преобразование (8) при заданных базисах в  и  определяет некоторый линейный оператор, отображающий  в .

Покажем теперь обратное, т. е. что для произвольного линейного оператора , отображающего  в , и произвольных базисов  в и в  существует такая прямоугольная матрица с элементами из поля

,                                        (10)

что составленное при помощи этой матрицы линейное преобразование (1) выражает координаты преобразованного вектора  через координаты исходного вектора .

Действительно, применим оператор  к базисному вектору  и координаты полученного вектора  в базисе  обозначим через  :

  .                          (11)

Помножая обе части равенства (11) на  и суммируя в пределах от 1 до  получим:

,

откуда

,

где

   ,

что и требовалось установить.

Таким образом, при заданных базисах в  и  каждому линейному оператору , отображающему  в , отвечает некоторая прямоугольная матрица (10) с размерами, наоборот, каждой такой матрице отвечает некоторый линейный оператор, отображающий  в .

При этом в матрице  отвечающей оператору , -й столбец состоит из последовательных координат вектора  ().

Обозначим через  и  столбцы координат векторов  и . Тогда векторному равенству

соответствует матричное равенство

,

которое является матричной записью преобразования (8).

Пример.

Рассмотрим совокупность всех многочленов от  степени  с коэффициентами из числового поля . Эта совокупность представляет собой некоторое -мерное векторное пространство  (см. пример 4 на стр. 66). Точно так же многочлены от  степени  с коэффициентами из  образуют пространство .

Оператор дифференцирования  относит каждому многочлену из  некоторый многочлен из . Таким образом, этот оператор отображает  в . Оператор дифференцирования является линейным оператором, так как

,   .

В пространствах  и  выберем базисы степеней :

 и .

Пользуясь формулой (11), построим прямоугольную матрицу размером , соответствующую оператору дифференцирования  в этих базисах:

.