§ 3. Сложение и умножение линейных операторов

1. Пусть даны два линейных оператора и , отображающие в , и соответствующие им матрицы

, , .

Определение 6. Суммой операторов и называется оператор , определяемый равенством

. (12)

На основе этого определения легко проверяется, что сумма линейных операторов и есть так же линейный оператор.

Далее,

Отсюда следует, что оператору отвечает матрица , где , т. е. оператору отвечает матрица

. (13)

К этому же выводу можно прийти из рассмотрения матричного равенства

(14)

(— столбец координат вектора ), соответствующего векторному равенству (12). Поскольку — произвольный столбец, то из (14) следует (13).

2. Пусть даны три векторных пространства , и соответственно , и измерений и два линейных оператора и , из которых отображает в , а отображает в ; в символической записи:

Определение 7. Произведением операторов и называется оператор , для которого при любом из

. (15)

Оператор отображает в :

Из линейности операторов и вытекает линейность оператора . Выберем в пространствах , , произвольные базисы и обозначим через , , матрицы, соответствующие операторам , , при этом выборе базисов. Тогда векторным равенствам

, , (16)

будут соответствовать матричные равенства

, , ,

где , , — столбцы координат векторов , , . Отсюда находим:

и в силу произвольности столбца

. (17)

Таким образом, произведению операторов и отвечает матрица , равная произведению матриц и .

Представляем читателю самому доказать, что оператору

отвечает матрица

Таким образом, мы видим, что в главе I действия над матрицами были определены так, что сумме линейных операторов, произведениям и отвечают соответственно матрицы , и . где и — матрицы, соответствующие операторам и , а — число из .