§ 3. Сложение и умножение линейных операторов
1. Пусть даны два линейных оператора
и
, отображающие
в
, и соответствующие им матрицы
,
,
.
Определение 6. Суммой операторов
и
называется оператор
, определяемый равенством
. (12)
На основе этого определения легко проверяется, что сумма
линейных операторов
и
есть так же линейный оператор.
Далее,
.
Отсюда следует, что оператору
отвечает матрица
, где
, т. е. оператору
отвечает матрица
. (13)
К этому же выводу можно прийти из рассмотрения матричного равенства
(14)
(
— столбец координат вектора
), соответствующего векторному равенству (12). Поскольку
— произвольный столбец, то из (14) следует (13).
2. Пусть даны три векторных пространства
,
и
соответственно
,
и
измерений и два линейных оператора
и
, из которых
отображает
в
, а
отображает
в
; в символической записи:
.
Определение 7. Произведением операторов
и
называется оператор
, для которого при любом
из 
. (15)
Оператор
отображает
в
:
.
Из линейности операторов
и
вытекает линейность оператора
. Выберем в пространствах
,
,
произвольные базисы и обозначим через
,
,
матрицы, соответствующие операторам
,
,
при этом выборе базисов. Тогда векторным равенствам
,
,
(16)
будут соответствовать матричные равенства
,
,
,
где
,
,
— столбцы координат векторов
,
,
. Отсюда находим:
,
и в силу произвольности столбца 
. (17)
Таким образом, произведению
операторов
и
отвечает матрица
, равная произведению матриц
и
.
Представляем читателю самому доказать, что оператору

отвечает матрица
.
Таким образом, мы видим, что в главе I действия над матрицами были определены так, что сумме линейных операторов
, произведениям
и
отвечают соответственно матрицы
,
и
. где
и
— матрицы, соответствующие операторам
и
, а
— число из
.