§ 4. Преобразование координат

Рассмотрим в -мерном векторном пространстве два базиса: («старый» базис) и («новый» базис).

Взаимное расположение векторов базиса определится, если задать координаты векторов одного базиса относительно другого.

Мы положим:

(18)

или в сокращенной записи:

. (18')

Установим связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах.

Пусть и — координаты вектора соответственно в «старом» и «новом» базисах:

. (19)

Подставим в (19) вместо векторов их выражения из (18). Получим:

Сопоставляя это равенство с (19) и учитывая, что координаты вектора однозначно определяются заданием вектора и базиса, находим:

, (20)

или в подробной записи:

(21)

Формулы (21) определяют преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому. Они выражают «старые» координаты через «новые». Матрица

(22)

называется матрицей преобразования координат или преобразующей матрицей. В ней -й столбец состоит из «старых» координат -го «нового» базисного вектора. В этом можно убедиться из формулы (18) или непосредственно из формул (21), положив в последних , при .

Заметим, что матрица неособенная, т. е.

. (23)

Действительно, положив в (21) , получим систему линейных однородных уравнений с неизвестными и с определителем . Эта система может иметь только нулевое решение , , …, так как в противном случае из (19) следовала бы линейная зависимость между векторами . Поэтому .

Введем в рассмотрении столбцевые матрицы и .

Тогда формулы преобразования координат (21) могут быть записаны в виде следующего матричного равенства:

. (24)

Помножая снова обе части этого равенства на , найдем выражение для обратного преобразования

. (25)