§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра

1. Пусть даны два векторных пространства  и , соответственно  и  измерений над числовым полем , и линейный оператор , отображающий  в . В настоящем параграфе мы выясним, как меняется матрица , соответствующая данному линейному оператору , при изменении базисов в и .

Выберем в  и  произвольные базисы  и . В этих базисах оператору  будет соответствовать матрица  . Векторному равенству

                                                                 (26)

соответствует матричное равенство

,                                                                (27)

где  и  — координатные столбцы для векторов  и  в базисах  и .

Выберем теперь в  и  другие базисы  и . В новых базисах вместо , ,  будем иметь: , , . При этом

.                                                                (28)

Обозначим через  и  неособенные квадратные матрицы соответственно порядков  и , осуществляющие преобразование координат в пространствах  и  при переходе от старых базисов к новым (см. § 4):

, .                                                  (29)

Тогда из (27) и (29) получаем:

.                           (30)

Полагая , мы из (28) и (30) находим:

.                                                            (31)

Определение 8. Две прямоугольные матрицы  и  одинаковых размеров называются эквивалентными, если существуют две неособенные квадратные матрицы  и  такие, что

.                                                            (32)

Из (31) следует, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору  при различном выборе базисов в  и , всегда эквивалентны между собой. Нетрудно видеть, что и обратно, если матрица  отвечает оператору  при некоторых базисах в  и , матрица  эквивалентна матрице , то она отвечает тому же линейному оператору при некоторых других базисах в  и .

Таким образом, каждому линейному оператору, отображающему  и , соответствует класс эквивалентных между собой матриц с элементами из поля .

2. Следующая теорема устанавливает критерий эквивалентности двух матриц:

Теорема 2. Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы эти матрицы имели один и тот же ранг.

Доказательство. Условие необходимо. При умножении прямоугольной матрицы на какую-либо неособенную квадратную матрицу (слева или справа) ранг исходной прямоугольной матрицы не может измениться (см. гл. I, стр. 27). Поэтому из (32) следует

.

Условие достаточно. Пусть  — прямоугольная матрица размера . Она определяет линейный оператор , отображающий пространство  с базисом  в пространство  с базисом . Обозначим через  число линейно независимых векторов среди векторов . Не нарушая общности, можем считать, что линейно независимыми являются векторы , а остальные , выражаются линейно через них:

  .                      (33)

Определим новый базис  следующим образом:

         (34)

Тогда в силу (33)

   .                                                (35)

Далее положим:

  .                                                 (36)

Векторы  линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами  до базиса  в .

Тогда матрица отвечающая тому же оператору  в новых базисах ; , согласно (35) и (36) будет иметь вид

.                   (37)

В матрице  вдоль главной диагонали сверху вниз идут  единиц; все остальные элементы матрицы  равны нулю. Так как матрицы  и  соответствуют одному и тому же оператору , то они эквивалентны между собой. По доказанному эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг. Поэтому ранг исходной матрицы  равен .

Мы показали, что произвольная прямоугольная матрица ранга  эквивалентна «канонической» матрице . Но матрица  полностью определяется заданием размеров  и числа . Поэтому все прямоугольные матрицы данных размеров  и данного ранга  эквивалентны одной и той же матрице  и, следовательно, эквивалентны между собой. Теорема доказана.

3. Пусть дан линейный оператор , отображающий -мерное пространство  в -мерное . Совокупность векторов вида , где , образует векторное пространство. Это пространство мы будем обозначать через ; оно составляет часть пространства  или, как говорят, является подпространством в пространстве .

Наряду с подпространством  в  рассмотрим совокупность всех векторов , удовлетворяющих уравнению

.                                                                (38)

Эти векторы так же образуют подпространство в ; это подпространство мы обозначим через .

Определение 9. Если линейный оператор  отображает  в , то число измерений  пространства  называется рангом оператора , а число измерений  пространства , состоящего из всех векторов , удовлетворяющих условию (38), - дефектом оператора .

Среди всех эквивалентных прямоугольных матриц, задающих данный оператор  в различных базисах, имеется каноническая матрица  [ см. (37)]. Обозначим через  и  соответствующие ей базисы в  и . Тогда

, .

Из определения  и  следует, что векторы  образуют базис в , а векторы  сопоставляют базис в . Отсюда вытекает, что  — ранг оператора  и

.                                                             (39)

Если  — произвольная матрица, соответствующая оператору , то она эквивалентна  и, следовательно, имеет тот же ранг . Таким образом, ранг оператора  совпадает с рангом прямоугольной матрицы

,

определяющий оператор  в некоторых базисах  и .

В столбцах матрицы  стоят координаты векторов . Так как из  следует , то ранг оператора , т. е. число измерений , равняется максимальному числу линейно независимых векторов среди . Таким образом, ранг матрицы совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы. Поскольку при транспонировании строки матрицы делаются столбцами, а ранг не меняется, то число линейно независимых строк матрицы так же равно рангу матрицы.

4. Пусть даны два линейных оператора ,  и их произведение .

Пусть оператор  отображает  в , а оператор  отображает  в . Тогда оператор  отображает  в :

, .

Введем матрицы , , , соответствующие операторам , ,  при некотором выборе базисов ,  и . Тогда операторному равенству  будет соответствовать матричное равенство .

Обозначим через , ,  ранги операторов  , , , или, что тоже, ранги матриц , , . Эти числа определяют число измерений подпространств , , . Поскольку , то . Кроме этого, число измерений  не может превосходить числа измерений . Поэтому

, .

Эти неравенства были нами получены в главе I, § 2 из формулы для миноров произведения двух матриц.

Рассмотрим оператор  как оператор, отображающий  в . Тогда ранг этого оператора будет равен числу измерений пространства , т. е. . Поэтому, применяя формулу (39), получим:

,                                                         (40)

где — максимальное число линейно независимых векторов из , удовлетворяющие уравнению

.                                                                (41)

Но все решения этого уравнения, принадлежащие , образуют подпространство  измерений, где

                                                             (42)

— дефект оператора , отображающего  в . Поскольку , то

.                                                                 (43)

Из (40), (42) и (43) находим:

.

Таким образом, мы получили следующие неравенства Сильвестра для ранга произведения двух прямоугольных матриц  и  с размерами  и :

.                                      (44)

Если матричное уравнение , где размеры прямоугольных матриц , , — , , , имеет решение  (см. стр. 23), то из неравенств Сильвестра легко следует:

.

Можно доказать, что если уравнение  имеет каое-либо решение, то оно имеет решение любого ранга , заключенного между числами , и .