§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя

1. Линейный оператор, отображающий -мерное векторное пространство само в себя (в данном случае , ) мы будем просто называть линейным оператором в .

Сумма двух линейных операторов в а также произведение такого оператора на число — снова линейные операторы в . Умножение двух таких линейных операторов всегда выполнимо, и произведение их есть снова линейный оператор в . Таким образом, линейные операторы в образуют кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор, т. е. оператор , для которого

При этом для произвольного оператора в

Если — линейный оператор в , то имеет смысл , , … и вообще . Кроме того, полагаем . Тогда, как легко видеть, при любых целых неотрицательных и

Пусть — многочлен относительно скалярного аргумента с коэффициентами из поля . Тогда полагаем

При этом для любых двух многочленов и .

Пусть

. (45)

Обозначим через координаты вектора в произвольном базисе , а через — координаты вектора в том же базисе. Тогда

. (46)

В базисе линейному оператору отвечает квадратная матрица . Напомним читателю (см. стр. 71), что в -м столбце этой матрицы стоят координаты вектора (), т. е.

. (47)

Вводя координатные столбцы и , мы преобразование (46) можем записать в матричной форме

. (48)

Сумме и произведению двух операторов и отвечают сумма и произведение соответствующих квадратных матриц и . Произведению соответствует матрица . Единичному оператору отвечает квадратная единичная матрица . Таким образом, выбор базиса устанавливает изоморфное соответствие между кольцом линейных операторов в кольцом квадратных матриц -го порядка с элементами из . При этом соответствии многочлену соответствует матрица .

2. Рассмотрим наряду с базисом другой базис в . Тогда аналогично (48)

, (49)

где , — столбцевые матрицы, составленные из координат векторов , в базисе , а — квадратная матрица, соответствующая оператору в этом базисе. Запишем в матричной форме формулы преобразования координат

, . (50)

Тогда из (48) и (50) находим:

что в сопоставлении с (49) дает:

. (51)

Формула (51) представляет собой специальный частный случай формулы (31) на стр. 75 (в данном случае , ).

Определение 10. Две матрицы и , связанные соотношением

, (51')

где — некоторая неособенная матрица, называются подобными.

Таким образом, мы показали, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору в при различных базисах, подобны между собой, причем матрица связывающая эти матрицы, совпадает с матрицей преобразования координат при переходе от первого базиса ко второму (см. (50)).

Другими словами, линейному оператору в отвечает целый класс подобных между собой матриц; эти матрицы представляют данный оператор в различных базисах.

Изучая свойства линейного оператора в , мы тем самым изучаем свойства матриц, присущие одновременно всему классу подобных матриц, т. е. изучаем свойства матриц, остающиеся неизменными инвариантными при переходе от данной матрицы к матрице, ей подобной.

Заметим еще, что две подобные матрицы имеют всегда равные определители. Действительно, из (51') следует, что

. (52)

Равенство — является необходимым, но не достаточным условием для подобия матриц и .

В главе VI будет установлен критерий подобия двух матриц, т. е. будут даны необходимые и достаточные условия для того, чтобы две квадратные матрицы -го порядка были подобны между собой.

Согласно равенству (52) мы можем под определителем линейного оператора в понимать определитель любой матрицы, соответствующей данному оператору.

Если , то оператор называется особенным (соответственно неособенным). Согласно этому определению в любом базисе особенному (неособенному) оператору отвечает особенная (соответственно неособенная) матрица. Для особенного оператора:

1) всегда существует вектор такой, что ,

2) составляет правильную часть . Для неособенного оператора:

1) из следует ;

2) , т. е. векторы вида заполняют все пространство .

Другими словами, линейный оператор в является особенным или неособенным в зависимости от того, больше или равен пулю его дефект.

3. Если — неособенный оператор, то в равенстве задание вектора однозначно определяет вектор . Действительно, существование вектора следует из того, что векторы вида заполняют все пространство . С другой стороны, из равенств и следует: и отсюда: , т. е. . Поэтому, исходя из равенства , можно определить обратный оператор равенством . Легко видеть, что обратный оператор для линейного оператора в также является линейным оператором в ; при этом

где — единичный оператор. Если в некотором базисе неособенному оператору отвечает неособенная матрица , то в этом базисе обратному оператору , соответствует матрица .

Рассмотрим некоторые частные типы линейных операторов в .

1°. Оператор в называется инволютивным, если . Инволютивный оператор неособенный и для него . Инволютивному оператору в любом соответствует инволютивная матрица , т. е. матрица , для которой .

2°. Оператор в называется проекционным, если . Пусть дано произвольное расщепление пространства на два подпространства и : . Тогда для любого вектора имеет место разложение , где , . Вектор называется проекцией вектора на подпространство параллельно подпространству . Рассмотрим оператор , осуществляющий проектирование пространства на подпространство параллельно подпространству , т. е. оператор в , определяемый равенством для любого вектора . Очевидно, этот оператор является линейным, но он является и проективным, так как , и, следовательно, , т. е. .

Легко проверяется и обратное утверждение. Произвольный проекционный оператор в осуществляет проектирование всего пространства на подпространство параллельно подпространству .

Любая натуральная степень проекционного оператора является проекционным оператором. Если — проекционный оператор, то и — проекционный оператор, так как .

Квадратная матрица называется проекционной, если . Очевидно, в произвольном базисе проекционному оператору соответствует проекционная матрица.