Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя

1. Линейный оператор, отображающий -мерное векторное пространство  само в себя (в данном случае , ) мы будем просто называть линейным оператором в .

Сумма двух линейных операторов в  а также произведение такого оператора на число — снова линейные операторы в . Умножение двух таких линейных операторов всегда выполнимо, и произведение их есть снова линейный оператор в . Таким образом, линейные операторы в  образуют кольцо. В этом кольце имеется единичный оператор, т. е. оператор , для которого

   .

При этом для произвольного оператора  в

.

Если  — линейный оператор в , то имеет смысл , , … и вообще . Кроме того, полагаем . Тогда, как легко видеть, при любых целых неотрицательных  и  

.

Пусть  — многочлен относительно скалярного аргумента  с коэффициентами из поля . Тогда полагаем

.

При этом  для любых двух многочленов  и .

Пусть

  .                                             (45)

Обозначим через  координаты вектора  в произвольном базисе , а через  — координаты вектора  в том же базисе. Тогда

  .                             (46)

В базисе  линейному оператору  отвечает квадратная матрица . Напомним читателю (см. стр. 71), что в -м столбце этой матрицы стоят координаты вектора  (), т. е.

  .                              (47)

Вводя координатные столбцы  и , мы преобразование (46) можем записать в матричной форме

.                                                                (48)

Сумме и произведению двух операторов  и отвечают сумма и произведение соответствующих квадратных матриц  и . Произведению  соответствует матрица . Единичному оператору  отвечает квадратная единичная матрица . Таким образом, выбор базиса устанавливает изоморфное соответствие между кольцом линейных операторов в  кольцом квадратных матриц -го порядка с элементами из . При этом соответствии многочлену  соответствует матрица .

2. Рассмотрим наряду с базисом  другой базис  в . Тогда аналогично (48)

,                                                                (49)

где , — столбцевые матрицы, составленные из координат векторов ,  в базисе , а  — квадратная матрица, соответствующая оператору  в этом базисе. Запишем в матричной форме формулы преобразования координат

.                                                   (50)

Тогда из (48) и (50) находим:

,

что в сопоставлении с (49) дает:

.                                                         (51)

Формула (51) представляет собой специальный частный случай формулы (31) на стр. 75 (в данном случае , ).

Определение 10. Две матрицы  и , связанные соотношением

,                                                         (51')

где  — некоторая неособенная матрица, называются подобными.

Таким образом, мы показали, что две матрицы, соответствующие одному и тому же линейному оператору в  при различных базисах, подобны между собой, причем матрица  связывающая эти матрицы, совпадает с матрицей преобразования координат при переходе от первого базиса ко второму (см. (50)).

Другими словами, линейному оператору в  отвечает целый класс подобных между собой матриц; эти матрицы представляют данный оператор в различных базисах.

Изучая свойства линейного оператора в , мы тем самым изучаем свойства матриц, присущие одновременно всему классу подобных матриц, т. е. изучаем свойства матриц, остающиеся неизменными инвариантными при переходе от данной матрицы к матрице, ей подобной.

Заметим еще, что две подобные матрицы имеют всегда равные определители. Действительно, из (51') следует, что

.                                           (52)

Равенство  — является необходимым, но не достаточным условием для подобия матриц  и .

В главе VI будет установлен критерий подобия двух матриц, т. е. будут даны необходимые и достаточные условия для того, чтобы две квадратные матрицы -го порядка были подобны между собой.

Согласно равенству (52) мы можем под определителем линейного оператора  в  понимать определитель любой матрицы, соответствующей данному оператору.

Если  , то оператор  называется особенным (соответственно неособенным). Согласно этому определению в любом базисе особенному (неособенному) оператору отвечает особенная (соответственно неособенная) матрица. Для особенного оператора:

1) всегда существует вектор  такой, что ,

2)  составляет правильную часть . Для неособенного оператора:

1) из  следует ;

2) , т. е. векторы вида   заполняют все пространство .

Другими словами, линейный оператор в  является особенным или неособенным в зависимости от того, больше или равен пулю его дефект.

3. Если  — неособенный оператор, то в равенстве  задание вектора  однозначно определяет вектор . Действительно, существование вектора  следует из того, что векторы вида   заполняют все пространство . С другой стороны, из равенств  и   следует:  и отсюда: , т. е. . Поэтому, исходя из равенства , можно определить обратный оператор  равенством . Легко видеть, что обратный оператор  для линейного оператора  в  также является линейным оператором в ; при этом

,

где  — единичный оператор. Если в некотором базисе неособенному оператору  отвечает неособенная матрица , то в этом базисе обратному оператору , соответствует матрица .

Рассмотрим некоторые частные типы линейных операторов в .

1°. Оператор  в  называется инволютивным, если . Инволютивный оператор неособенный и для него . Инволютивному оператору в любом соответствует инволютивная матрица , т. е. матрица , для которой .

2°. Оператор  в  называется проекционным, если . Пусть дано произвольное расщепление пространства  на два подпространства  и : . Тогда для любого вектора  имеет место разложение , где , . Вектор называется проекцией вектора  на подпространство  параллельно подпространству . Рассмотрим оператор , осуществляющий проектирование пространства  на подпространство  параллельно подпространству , т. е. оператор в , определяемый равенством  для любого вектора . Очевидно, этот оператор является линейным, но он является и проективным, так как ,  и, следовательно, , т. е. .

Легко проверяется и обратное утверждение. Произвольный проекционный оператор  в  осуществляет проектирование всего пространства  на подпространство  параллельно подпространству .

Любая натуральная степень проекционного оператора является проекционным оператором. Если  — проекционный оператор, то и — проекционный оператор, так как .

Квадратная матрица  называется проекционной, если . Очевидно, в произвольном базисе проекционному оператору соответствует проекционная матрица.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>