§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стильтьеса. Представление многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей

1. Пусть дан вещественный многочлен

.

Представим в виде

.

Выясним, какие условия должны быть наложены на многочлены  и  для того, чтобы многочлен  был многочленом Гурвица.

Полагая в формуле (20) (стр. 475) , мы получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы  был многочленом Гурвица в виде равенства

,

где, как и в предыдущих параграфах,

.

Пусть . Согласно формуле (73') (стр. 506) это условие может быть записано так:

.                  (86)

Так как абсолютная величина индекса рациональной дроби не может превосходить степени знаменателя (в данном случае ), то равенство (86) может иметь место тогда и только тогда, когда одновременно

.                  (87)

При  равенство (73") (поскольку ) дает:

.

Заменяя здесь дроби, стоящие под знаком индекса, их обратными величинами (см. 5. на стр. 505) и замечая при этом, что  и  имеют одну и ту же -ю степень, получаем:

.                 (88)

Исходя снова из того, что абсолютная величина индекса дроби не может превосходить степени знаменателя, заключаем, что равенство (88) имеет место тогда и только тогда, когда одновременно

.                      (89)

Если , то первое из равенств (87) означает, что многочлен  имеет  различных вещественных корней  и что правильная дробь  представима в виде

,                  (90)

где

.                      (90')

Из этого представления дроби  следует, что между любыми двумя корнями  многочлена  лежит вещественный корень  многочлена  и что старшие коэффициенты многочленов  и  имеют одинаковые знаки, т. е.

Второе из равенств (87) вносит лишь одно дополнительное условие

.

Согласно этому условию все корни  и  должны быть отрицательными. Если , то из первого равенства (89) следует, что  имеет  различных вещественных корней  и

,                  (91)

где

.                      (91')

Из третьего равенства (89) вытекает, что

,                      (92)

т. е. что старшие коэффициенты  и  имеют одинаковые знаки. Кроме того, из (91), (91') и (92) следует, что  имеет  вещественных корней ,  лежащих внутри интервалов . Другими словами,

Второе из равенств (89), как и при , вносит лишь одно дополнительное неравенство

.

Определение 3. Мы будем говорить, что два многочлена  и  -й степени [или первый -й, а второй – -й степени] образуют положительную пару, если корни этих многочленов  и  (соответственно ) все различны, вещественны, отрицательны и перемежаются следующим образом:

(соответственно ),

а старшие коэффициенты этих многочленов имеют одинаковые знаки.

Вводя положительные числа ,  и помножая оба многочлена  и , образующих положительную пару, на  так, чтобы старшие коэффициенты этих многочленов стали положительными, мы эти многочлены сможем представить в виде

,                      (93)

где

,

если оба многочлена  и  имеют степень , и в виде

,                       (93')

где

,

если  имеет степень , a  – степень .

Приведенные ранее рассуждения доказывают следующие две теоремы:

Теорема 13. Для того чтобы многочлен  был многочленом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы многочлены  и  составляли положительную пару.

Теорема 14. Для того чтобы два многочлена  и , из которых первый имеет степень , а второй имеет степень  или , составляли положительную пару, необходимо и достаточно, чтобы имели место равенства

                   (94)

и в случае, когда степени  и  одинаковы, дополнительное условие

.                   (95)

2. Из последней теоремы, используя свойства индексов Коши, мы легко получим теорему Стильтьеса о представлении дроби  в виде непрерывной дроби специального типа в случае, когда многочлены  и  образуют положительную пару многочленов.

Доказательство теоремы Стильтьеса опирается на следующую лемму:

Лемма. Если многочлены  [степень  равна ] составляют положительную пару и

,                    (96)

где  – постоянные, a  – многочлены степени , то

1. ,

2. многочлены  имеют степень ,

3. многочлены  составляют положительную пару.

Задание  и  однозначно определяет многочлены  (с точностью до общего постоянного множителя) и постоянные  и .

Обратно, из (96) и 1., 2., 3. следует, что многочлены  и  образуют положительную пару, причем  имеет степень , a  – степень  или  в зависимости от того,  или .

Доказательство. Пусть  – положительная пара. Тогда из (94) и (96) следует:

.                 (97)

Из этого равенства следует, что степень  равна  и что .

Далее из (97) находим:

.

Отсюда следует, что  и что

.                       (98)

Теперь второе равенство (94) дает:

           (99)

Отсюда следует, что  имеет степень .

Условие (95) в силу (96) дает: . Если же степень  меньше степени , то из (96) вытекает: .

Из (98) и (99) следует:

,                   (100)

где

.

Так как второй из индексов (100) по абсолютной величине , то

,                      (101)

а тогда из (100) и (101) на основании теоремы 12 заключаем, что многочлены  и  образуют положительную пару.

Из (96) следует:

.

После того как  и  определены, из (96) определяется отношение .

Соотношения (97), (98), (99), (100), (101), использованные в обратном порядке, устанавливают вторую часть леммы. Таким образом, лемма доказана полностью.

Пусть нам дана положительная пара многочленов  и  есть степень многочлена . Тогда, разделив  на  и обозначив частное через , а остаток через , получим:

.

 можно представить в виде , где степень , как и степень , меньше . Отсюда

.                 (102)

Таким образом, для положительной пары  и  всегда имеет место представление (96). Согласно лемме

,

а многочлены  и  имеют степень  и образуют положительную пару.

Применяя эти же рассуждения к положительной паре , получим равенство

,                (102')

где

,

а многочлены  и  имеют степень  и образуют положительную пару. Продолжая этот процесс далее, мы в конце концов придем к положительной паре  и , где  и  – постоянные одного знака. Мы положим:

.                    (102(m))

Тогда из (102), (102') (102(m)) вытекает:

Пользуясь второй частью леммы, мы аналогично покажем, что при любых , написанная непрерывная дробь однозначно (с точностью до общего постоянного множителя) всегда определяет положительную пару многочленов  и , причем  имеет степень , a  имеет степень  при  и степень  при .

Таким образом, нами доказана

Теорема 15 (Стильтьеса). Если  – положительная пара многочленов и  имеет степень , то

                      (103)

где

.

При этом , если  имеет, степень , и , если  имеет степень . Постоянные  однозначно определяются заданием .

Обратно, при любом  и любых положительных  непрерывная дробь (103) определяет положительную пару многочленов , где  имеет степень .

Из теоремы 13 и теоремы Стильтьеса следует:

Теорема 16. Вещественный многочлен -й степени  в том и только в том случае является многочленом Гурвица, если имеет место формула (103) при неотрицательном  и положительных . При этом , когда  нечетно, и , когда  четно.