§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова

Каждому вещественному многочлену -й степени можно отнести точку -мерного пространства, координаты которой равны частным от деления на старший коэффициент всех остальных коэффициентов. В таком пространстве коэффициентов все многочлены Гурвица образуют некоторую -мерную область, которая определяется неравенствами Гурвица  или, например, неравенствами Льенара-Шипара .  Эту область будем называть областью устойчивости. Если коэффициенты уравнения заданы как функции  параметров, то область устойчивости строится в пространстве этих параметров.

Исследование области устойчивости представляет большой практический интерес; так, например, такое исследование существенно при проектировании новых систем регулирования.

В § 16 мы покажем, что две замечательные теоремы, установленные А. А. Марковым и П. Л. Чебышевым в связи с разложением непрерывных дробей в степенные ряды по отрицательным степеням аргумента, имеют тесное отношение к исследованию области устойчивости. При формулировке и доказательстве этих теорем нам удобно будет задавать многочлен не его коэффициентами, а специальными параметрами, которые мы назовем параметрами Маркова.

Пусть дан вещественный многочлен

.

Представим его в виде

.

Примем, что многочлены  и  взаимно просты . Несократимую рациональную дробь  разложим в ряд по убывающим степеням :

              (104)

Если  нечетно, то для получения этой формулы необходимо добавочно предположить, что  (в противном случае ).

Последовательность чисел  определяет бесконечную ганкелеву матрицу . Определим рациональную функцию  равенством

.                   (105)

Тогда

,                   (106)

и потому имеет место соответствие (см. стр. 498)

.                   (107)

Отсюда следует, что матрица  имеет ранг , поскольку  – степень многочлена  и, следовательно, число полюсов функции .

При  (в этом случае ) задание матрицы  однозначно определяет несократимую дробь и, следовательно, с точностью до постоянного множителя однозначно определяет . При  для задания , помимо матрицы , необходимо еще знать коэффициент .

С другой стороны, для задания бесконечной ганкелевой матрицы -го ранга  достаточно задать лишь первые  чисел . Числа  могут быть выбраны произвольно при одном лишь ограничении

;                   (108)

все последующие коэффициенты разложения (104)  однозначно (и даже рационально) выражаются через первые . Действительно, у бесконечной ганкелевой матрицы -го ранга  элементы связаны между собой рекуррентными соотношениями (см. теорему 7 на стр. 496)

.                  (109)

Если числа  удовлетворяют неравенству (108), то после задания этих чисел из первых  соотношений (109) однозначно определяются коэффициенты ; тогда последующие соотношения (109) определяют .

Таким образом, вещественный многочлен  степени  при  может быть однозначно задан при помощи  чисел , удовлетворяющих неравенству (108). При  к этим числам следует прибавить еще .

 величин  (при ) или  (при ) мы будем называть параметрами Маркова для многочлена . В -мерном пространстве эти параметры могут быть рассматриваемы как координаты точки, изображающей данный многочлен .

Выясним, какие условия должны быть наложены на параметры Маркова для того, чтобы соответствующий многочлен  был многочленом Гурвица. Этим самым мы определим область устойчивости в пространстве параметров Маркова.

Многочлен Гурвица характеризуется условиями (94) и дополнительным условием (95) при . Вводя функцию  [см. (105)], мы равенства (94) запишем так:

.                     (110)

Дополнительное же условие (95) для  дает:

.

Введем наряду с матрицей  бесконечную ганкелеву матрицу . Тогда поскольку из (106)

,

то имеет место соответствие

.              (111)

Матрица , как и матрица , имеет конечный ранг , так как функция , как и , имеет  полюсов. Поэтому и формы

имеют ранг . Но согласно теореме 9 (стр. 500) сигнатуры этих форм в силу соответствий (107), (111) равны индексам (110) и, следовательно, также равны . Таким образом, условия (110) означают положительную определенность квадратичных форм  и . Нами установлена

Теорема 17. Для того чтобы вещественный многочлен  степени  или  был многочленом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы

1. квадратичные формы

               (112)

были положительно определенными и

2. (при )

.                      (113)

Здесь  – коэффициенты в разложении

.

Введем обозначения для определителей:

.                    (114)

Тогда условие 1. эквивалентно системе детерминантных неравенств

                   (115)

В случае  неравенства (115) определяют область устойчивости в пространстве параметров Маркова. При  к этим неравенствам следует прибавить еще одно:

.                      (116)

В следующем параграфе мы выясним, какие свойства матрицы  вытекают из неравенств (115) и тем самым выделим специальный класс бесконечных ганкелевых матриц , которые соответствуют многочленам Гурвица.