§ 16. Связь с проблемой моментов

1. Сформулируем следующую проблему моментов из положительной полуоси :

Дана последовательность вещественных чисел . Требуется определить положительные числа

              (117)

так, чтобы имели место равенства

.                      (118)

Нетрудно усмотреть, что система равенств (118) равносильна следующему разложению в ряд по отрицательным степеням :

             (119)

В этом случае бесконечная ганкелева матрица  имеет конечный ранг , и в силу неравенств (117) в несократимой правильной рациональной дроби

                  (120)

[старшие коэффициенты в  и  выбираем положительными] многочлены  и  образуют положительную пару [см. (91) и (91')].

Поэтому (см. теорему 14) сформулированная нами проблема моментов имеет решение в том и только в том случае, когда последовательность чисел  при помощи равенств (119) и (120) определяет многочлен Гурвица  степени .

Решение проблемы моментов единственно, поскольку из разложения (119) однозначно определяются положительные числа  и  .

Наряду с «бесконечной» проблемой моментов (118) рассмотрим и конечную проблему моментов, задаваемую первыми  из уравнений (118):

.              (121)

Из этих соотношении уже вытекают следующие выражения для ганкелевых квадратичных форм:

                       (122)

Поскольку линейные формы относительно переменных

независимы (коэффициенты этих форм образуют отличный от нуля определитель Вандермонда!) и  , то квадратичные формы (122) являются положительно определенными. Тогда согласно теореме 17 числа  являются параметрами Маркова некоторого многочлена Гурвица . Эти числа являются первыми  коэффициентами разложения (119). Вместе с остальными коэффициентами  они определяют бесконечную разрешимую проблему моментов (118), которая имеет то же решение, что и конечная проблема (121).

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема 18. 1. Для того чтобы конечная проблема моментов

             (123)

, где  – заданные, a  и  – искомые вещественные числа , имела решение, необходимо и достаточно, чтобы квадратичные формы

                       (124)

были положительно определенными, т. е. чтобы числа  были параметрами Маркова некоторого многочлена Гурвица степени .

2. Для того чтобы бесконечная проблема моментов

             (125)

, где  – заданные, a  и  – искомые вещественные числа , имела решение, необходимо и достаточно, чтобы 1. квадратичные формы (124) были положительно определенными и 2. бесконечная ганкелева матрица  имела ранг , т. е. чтобы ряд

                   (126)

определял многочлен Гурвица  степени .

3. Решение проблемы моментов, как конечной (123), так и бесконечной (124), всегда единственно.

2. Доказанную теорему мы используем для исследования миноров бесконечной ганкелевой матрицы  ранга , соответствующей некоторому многочлену Гурвица, т. е. матрицы , для которой квадратичные формы (124) являются положительно определенными. В этом случае порождающие матрицу  числа  могут быть представлены в виде (123), и потому для произвольного минора матрицы  порядка  имеем:

и, следовательно,

                       (127)

Но из неравенств

следует положительность обобщенных определителей Вандермонда

Поэтому, поскольку и числа  , то из (127) вытекает

.                   (128)

Обратно, если в бесконечной ганкелевой матрице  ранга  все миноры любого порядка  положительны, то квадратичные формы (127) являются положительно определенными.

Введем

Определение 4. Бесконечную матрицу  будем называть вполне положительной ранга  в том и только в том случае, когда все миноры матрицы  порядка  положительны, а все миноры, порядка  равны нулю.

Теперь сформулируем установленные свойства матрицы .

Теорема 19. Для того чтобы бесконечная ганкелева матрица  была вполне положительной ранга , необходимо и достаточно, чтобы 1) матрица  имела ранг  и 2) квадратичные формы

были положительно определенными.

Из этой теоремы и теоремы 17 следует

Теорема 20. Вещественный многочлен  степени и является многочленом Гурвица в том и только в том случае, когда соответствующая этому многочлену бесконечная ганкелева матрица  является вполне положительной ранга  и в случае  нечетного дополнительно .

При этом элементы  матрицы  и число  определяются из разложения

,                     (129)

где

.