§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева

В своем известном мемуаре «О функциях, получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби», напечатанном в Записках Петербургской Академии наук за 1894 г., покойный акад. А. А. Марков доказал две теоремы, из которых вторая иными методами и в не столь общей формулировке была в 1892 г. установлена П. Л. Чебышевым.

В этом параграфе мы покажем, что эти теоремы имеют непосредственное отношение к исследованию области устойчивости в параметрах Маркова, и дадим сравнительно простое доказательство (не связанное с непрерывными дробями) этих теорем, опирающееся на теорему 19 предыдущего параграфа.

Переходя к формулировке первой теоремы, процитируем соответствующее место упомянутого выше мемуара А. А. Маркова:

«Основываясь на предыдущем, нетрудно уже доказать две замечательные теоремы, которыми мы закончим нашу статью.

Одна касается определителей

а другая – корней уравнения

Теорема об определителях. Если для чисел

мы имеем две системы значений

1) ,

2) ,

при которых все определители

оказываются числами положительными и удовлетворены неравенства

то наши определители

должны оставаться числами положительными при всех значениях

удовлетворяющих неравенствам

При тех же условиях должно быть

при .

Для того чтобы дать иную формулировку этой теоремы, связанную с задачей устойчивости, введем некоторые понятия и обозначения.

Параметры Маркова (при ) или (при ) будем рассматривать как координаты некоторой точки -мерного пространства. Область устойчивости в этом пространстве будем обозначать через . Область характеризуется неравенствами (115), (116) (стр. 521).

Мы будем говорить, что точка «предшествует» точке , и писать , если

(134)

и хотя бы в одном из этих соотношений имеет место знак .

Если имеют место только соотношения (134) без последней оговорки, то мы будем писать:

Мы будем говорить, что точка лежит «между» точками и , если .

Каждой точке соответствует бесконечная ганкелева матрица ранга . Эту матрицу будем обозначать еще так: .

Теперь мы дадим теореме Маркова следующую формулировку:

Теорема 21 (Маркова). Если две точки и принадлежат области устойчивости , то и любая точка , расположенная между точками и , также принадлежит области , т. е.

из следует: .

Доказательство. Из следует, что две точки и можно соединить отрезком кривой

, (135)

содержащим точку так, чтобы 1) функции были непрерывными, монотонно возрастающими и дифференцируемыми при изменении от до и 2) чтобы значениям аргумента соответствовали точки на кривой.

При помощи величин (135) составим бесконечную ганкелеву матрицу ранга . Рассмотрим часть этой матрицы, а именно прямоугольную матрицу

. (136)

Согласно условию теоремы при и при матрица вполне положительна ранга , и потому все миноры матрицы (136) порядка положительны.

Мы докажем, что это свойство сохраняется при любом промежуточном значении .

Для это очевидно. Докажем это утверждение для миноров -го порядка в предположении, что оно верно для миноров -го порядка. Рассмотрим произвольный минор -го порядка, образованный подряд идущими строками и столбцами матрицы (132):

Вычислим производную от этого минора

– алгебраические дополнения (адъюнкты) элементов определителя . Поскольку согласно допущению все миноры этого определителя положительны, то

. (137)

С другой стороны, из (131) находим:

. (137')

Из (134), (135) и (136) следует:

(137")

Таким образом, каждый минор при четном монотонно возрастает (точнее, не убывает), а при нечетном – монотонно убывает (точнее, не возрастает) при возрастании аргумента от значения до значения , и поскольку при и этот минор положителен, то он будет положительным при любом промежуточном значении .

Из того, что положительны миноры матрицы (136) порядка и миноры -го порядка, образованные подряд идущими строками и столбцами, уже следует, что все миноры -го порядка матрицы (136) положительны.

Из доказанного следует, что при любом величины и (при ) удовлетворяют неравенствам (115) и (116), т. е. при любом эти величины являются параметрами Маркова для некоторого многочлена Гурвица. Другими словами, вся кривая (135), а значит, и точка лежат в области устойчивости .

Теорема Маркова доказана.

Примечание. Поскольку доказано, что каждая точка кривой (135) принадлежит области , то при любом величины (135) определяют вполне положительную ранга матрицу . Поэтому неравенства (137), а следовательно, и (137") имеют место при любом , т. е. с возрастанием любое возрастает, если – четное число, и убывает, если нечетно .

Другими словами, из следует:

Эти неравенства при дают неравенства Маркова (стр. 527).

Рассмотрим теперь упомянутую в начале этого параграфа теорему Чебышева-Маркова. Снова приведем цитату из мемуара А. А. Маркова:

«Теорема о корнях. Если числа

удовлетворяют всем условиям предыдущей теоремы, то уравнения

степени относительно неизвестной не имеют ни кратных, ни мнимых, ни отрицательных корней.

И корни второго уравнения больше соответственных корней первого и меньше соответственных корней последнего уравнения.

Выясним, в какой связи эта теорема находится с областью устойчивости в пространстве параметров Маркова. Полагая и

мы из разложения (105)

получим тождество

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях , найдем:

(138)

к этим соотношениям добавим уравнение

, (139)

записанное так:

. (139')

Исключая из (138) и (139') коэффициенты , мы представим уравнение (139) в виде

(139")

Таким образом, алгебраическое уравнение в теореме Чебышева-Маркова совпадает с уравнением (139), а неравенства, налагаемые на величины совпадают с неравенствами (115), определяющими область устойчивости в пространстве параметров Маркова.

Теорема Чебышева-Маркова выясняет, как меняются корни многочлена , когда соответствующие параметры Маркова изменяются в области устойчивости.

Первая часть теоремы утверждает известные нам факты: при выполнении неравенств (115) все корни многочлена простые, вещественные и отрицательные. Мы эти корни будем обозначать так:

где – соответствующая точка области .

Тогда вторая (основная) часть теоремы Чебышева-Маркова может быть сформулирована так:

Теорема 22 (Чебышева-Маркова). Если и – две точки области и точка «предшествует» точке ,

, (140)

то

. (141)

Доказательство. Коэффициенты многочлена можно выразить рационально через параметры . Тогда из

следует:

. (142)

С другой стороны, дифференцируя почленно разложение

по параметру , найдем:

. (143)

Помножая обе части этого равенства на многочлен и обозначая через коэффициент этого многочлена при степени , получим:

. (144)

Приравнивая коэффициенты при (вычеты) в левой и правой частях равенства (144), найдем:

, (145)

что в сочетании с (142) дает:

Вводя величины

, (146)

мы получим формулу Чебышева-Маркова

. (147)

Но в области устойчивости величины положительны [см. (90') на стр. 513]. То же можно сказать и о коэффициентах . Действительно,

, (148)

где

Из (148) видно, что все коэффициенты и в разложении по степени положительны. Таким образом, из формулы Чебышева-Маркова получаем:

. (149)

При доказательстве теоремы Маркова мы показали, что любые две точки области можно соединить дугой кривой , где – монотонно возрастающие дифференцируемые функции от [ изменяется в пределах от до , причем соответствует точка , a – точка ]. Тогда вдоль этой кривой в силу (149)

. (150)

Отсюда, интегрируя, получаем:

Теорема Чебышева-Маркова доказана.