§ 6. Другая постановка задачи о спектре суммы и произведения эрмитовых операторов

В настоящем параграфе мы сопоставим набору собственных чисел суммы эрмитовых операторов и точку в -мерном координатном пространстве и рассмотрим множество точек, получающихся при сложении всевозможных операторов и с данными спектрами. Аналогичную задачу мы рассмотрим и в случае произведения операторов.

Постановка задач на собственные значения в указанной геометрической форме принадлежит И. М. Гельфанду (см. по этому поводу [76], [106], [113], [191с]).

Мы приведем здесь лишь аналоги теорем 6 и 9, первоначально полученные другими методами.

1. Нам понадобится геометрическое описание всех последовательностей , которые мажорируются данной последовательностью . Соответствующую лемму мы установим, используя некоторые результаты Фробениуса, Кёнига и Биркгофа. Начнем со следующего замечания.

Пусть – квадратная матрица. Нормальным набором элементов матрицы назовем набор элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, т. е. набор вида

, (123)

где – некоторая перестановка индексов .

Справедливо следующее предложение, имеющее самостоятельное значение в ряде разделов математики.

Лемма 8 (Фробениус – Кёниг [182е], [203]). Пусть - квадратная матрица порядка с неотрицательными элементами, и пусть каждый нормальный набор матрицы содержит нулевой элемент; тогда существует состоящий из нулей минор матрицы размеров такой, что .

Доказательство мы проведем по индукции, предположив, что для матриц всех порядков лемма справедлива. Случай тривиален.

Обращаясь к матрице порядка , мы можем, очевидно, считать, что не все ее элементы равны нулю. Пусть для определенности (этого всегда можно добиться перестановками строк и столбцов, так как при этом условия леммы не нарушаются).

Для матрицы , очевидно, выполняются условия леммы, и по индуктивному предположению найдется состоящий из нулей минор матрицы размеров :

. (124)

Не ограничивая общности, можно считать, что минор расположен на пересечении первых строк и первых столбцов матрицы .

Разобьем матрицу следующим образом на блоки:

и рассмотрим квадратные матрицы и размеров и .

Хотя бы одна из матриц или обладает тем свойством, что каждый нормальный набор ее элементов содержит нулевой элемент (в противном случае можно было бы образовать нормальный набор положительных элементов всей матрицы ). Пусть указанным свойством обладает матрица . По предположению индукции, обладает состоящим из одних нулей минором размеров :

. (125)

Очевидно, можно считать, что минор расположен в строках матрицы с номерами и в столбцах с номерами . Легко видеть, что при этом минор матрицы , расположенный в строках с номерами и в столбцах с номерами , состоит из одних нулей, причем в силу (124) и (125)

Лемма 8 доказана.

Следствие. Пусть элементы квадратной матрицы неотрицательны и сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце равна . Тогда матрица обладает нормальным набором положительных элементов.

В самом деле, допустив противное, мы сможем согласно лемме 8 указать минор матрицы размеров , состоящий из одних нулей. Легко видеть, что сумма элементов матрицы , расположенных в тех строках и тех столбцах, на пересечении которых расположен данный минор, равна . Последнее, однако, невозможно, так как сумма всех элементов матрицы равна .

Условимся в дальнейшем матрицу порядка называть матрицей перестановки (permutation matrix), если она обладает нормальным набором элементов, каждый из которых равен единице, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Ясно, что умножение матрицы на столбцевую матрицу приводит к некоторой перестановке элементов матрицы .

Так как и, обратно, каждая перестановка элементов порождает некоторую матрицу , то всего существует различных матриц перестановок.

Докажем теперь следующее предложение, принадлежащее Биркгофу [153].

Лемма 9. Множество всех двояко стохастических матриц совпадает с выпуклой оболочкой матриц перестановок. Другими словами, любая двояко стохастическая матрица может быть представлена в виде

, (126)

где

, (127)

а – матрицы перестановок. Обратно, правая часть (126) при условии (127) является двояко стохастической матрицей.

Последняя часть утверждения почти очевидна. В самом деле, сумма элементов -го столбца матрицы равна . Поэтому сумма элементов -ro столбца правой части (126) равна . Аналогично в случае строк.

Доказательство первой части леммы существенно использует предыдущую лемму 8.

Пусть – двояко стохастическая матрица. Тогда по следствию из леммы 8 существует положительный набор элементов

(128)

этой матрицы. Пусть

, (129)

и пусть – матрица перестановки, у которой на местах элементов набора (128) стоят единицы. Рассмотрим матрицу

. (130)

В силу (129) элементы матрицы неотрицательны, а сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце равна

Заметим, что число нулевых элементов во всяком случае на единицу больше, чем у матрицы . Если , то , и лемма доказана. Если , то обладает нормальным набором положительных элементов, и, повторив рассуждение, мы придем к неотрицательной матрице число нулевых элементов которой уже на два больше, чем у . Суммы элементов в столбцах и строках равны . Ясно, что на некотором -м шаге этот процесс приведет к числу и, следовательно, к матрице

Действительно, при матрица уже не имеет нормального набора положительных элементов (у нее нулевых элементов), и, следовательно, не может быть положительным числом. Лемма 9 доказана.

2. Условимся каждой числовой последовательности ставить в соответствие точку в -мерном координатном пространстве .

Пусть

(131)

– некоторая последовательность. Рассмотрим последовательностей, получающихся из последовательности (131) всевозможными перестановками ее элементов

. (131)

Сопоставив каждой последовательности (131) точку в , обозначим через линейную выпуклую оболочку, натянутую на эти точки.

Легко видеть, что множество состоит из всех точек

, (132)

где – матрицы перестановок и – столбцевая матрица с координатами (131).

Заметим попутно, что каждая точка принадлежит множеству вместе с точками, получающимися перестановками ее координат. Для доказательства достаточно умножить равенство (132) на матрицу перестановки и воспользоваться тем, что произведение матриц перестановок есть матрица перестановки.

Мы теперь без труда докажем следующее предложение:

Лемма 10. Для того чтобы последовательность

(133)

мажорировалась последовательностью , необходимо и достаточно, чтобы точка с координатами (133) принадлежала выпуклой линейной оболочке .

Доказательство леммы. Пусть сначала , тогда

, (134)

где , а – матрицы перестановок. Следовательно, по лемме

, (135)

где – двояко стохастическая матрица, и значит, согласно лемме 1 последовательность (133) мажорируется последовательностью (131).

Пусть теперь, наоборот, известно, что , тогда по лемме 1 найдется дважды стохастическая матрица , с которой выполняется равенство (135). Этому равенству согласно лемме 9 можно придать вид (134), откуда уже следует, что .

3. Перейдем теперь к теоремам, составляющим цель настоящего параграфа.

Теорема 10 (см. [106а]). Пусть и – эрмитовы операторы в -мерном унитарном пространстве с собственными значениями

(136)

. (137)

Пусть и пусть

(138)

– собственные числа . Обозначим через выпуклую линейную оболочку точек

(139)

и через выпуклую линейную оболочку точек

(140)

(берутся всевозможные перестановки чисел ).

Тогда точка принадлежит пересечению оболочек и .

Доказательство. Рассмотрим точку

. (141)

Согласно теореме 6 [см. неравенства (106)] последовательность, полученная упорядочением координат точки (141), мажорируется последовательностью . На основании леммы 10 мы заключаем, что точка (141) принадлежит выпуклой линейной оболочке точек . Отсюда следует, что . Поменяв ролями и , легко получим, что . Таким образом, теорема 10 доказана.

Мы вывели теорему 10 из теоремы 6. Легко видеть, что и обратно, ввиду леммы 10 теорема 6 следует из теоремы 10.

В связи с теоремой 10 сделаем несколько замечаний.

Обозначим через множество точек (138), отвечающих спектрам операторов , где и – всевозможные эрмитовы операторы с данными спектрами (136) и (150). Утверждение теоремы 10 состоит в том, что .

Полное описание множества до сих пор не получено, несмотря на имеющиеся в этой области важные исследования ([76], [191с]).

В частности, в работе [191с] найдено полное описание множества для случая .

Приведем без доказательства относящийся к этому вопросу следующий просто формулируемый результат [106а]:

Пусть при всех

(142)

или

. (142')

Тогда

Отметим здесь же, что при условии (142) или (142') среди собственных значений оператора нет кратных. В самом деле, пусть, например, выполнено условие (142). Согласно теореме 10

где

и .

Поэтому и, следовательно, .

Сформулируем в геометрических терминах теорему, эквивалентную теореме 9.

Теорема 11 ([106]). Пусть и – положительно определенные эрмитовы операторы с собственными числами и , занумерованными в убывающем порядке, и пусть

– собственные числа оператора . Пусть – выпуклая линейная оболочка точек

и – выпуклая линейная оболочка точек

Тогда точка с координатами принадлежит пересечению оболочек и .

Доказательство. Прологарифмировав неравенства (121), получим:

И в этом случае при достигается равенство, ибо . Далее поступаем так же, как в теореме 10.

Отметим также следующую теорему о спектре произведения унитарных матриц, принадлежащую А. А. Нудельману и П. А. Шварцман (УМН, т. 13, вып. 6 (84), 1958).

Пусть – аргументы собственных чисел унитарной матрицы , и пусть – аргументы собственных чисел унитарной матрицы . Пусть, кроме того, . Обозначим через выпуклую оболочку, натянутую на векторов , а через – выпуклую оболочку векторов . Пусть, наконец, – аргументы собственных чисел матрицы ; тогда точка с координатами принадлежит пересечению выпуклых оболочек и .