§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных чисел сумм и произведений операторовПусть Теорема 6 (см. [260е]). Пусть Тогда для любого набора
справедливо неравенство
При Доказательство. По заданному набору (105) выберем такую цепочку подпространств
чтобы для любой системы векторов
подчиненной цепочке (107), выполнялось неравенство
Такая цепочка (107) найдется в силу теоремы 4 (ср. лемму 7). Заметив, что
подберем такую систему векторов, подчиненную цепочке (107), чтобы
Такую систему векторов можно найти также на основании теоремы 4 (ср. лемму 7, А). Так как, далее, в силу теоремы 3 для любой ортогональной нормированной системы
то неравенство (106) следует из (109), (110), (111) и (112). При Теорема 6 доказана полностью. Следствие. Для любой непрерывной выпуклой функции
Этот результат следует из неравенств (106) на основании замечания к лемме 2. Оказывается, неравенства типа (106) справедливы для сингулярных чисел произвольных линейных операторов. Для доказательства соответствующего предложения мы используем следующее замечание: пусть порядка
Отсюда сразу следует сформулированное утверждение. Сопоставив каждому оператору Теорема 7 (см. [149]). Пусть
Замечание. Так как собственные числа операторов
Поскольку выбор знака перед каждой скобкой произволен, то
Используя лемму 2, мы можем на основании неравенств (114) заключить, что для любой непрерывной возрастающей выпуклой функции
Перейдем теперь к оценке сингулярных и собственных чисел произведений двух операторов. Основной в этом направлении является следующая теорема, обобщающая неравенство (35) (см. лемму 5). Теорема 8. Пусть
справедливы неравенства
Доказательство этой теоремы вполне аналогично доказательству теоремы 6. Докажем сначала неравенства (116'). На основании леммы 4 § 2 получаем:
для любой системы векторов
после чего на основании той же теоремы 5 найдем такую подчиненную, выбранной цепочке систему векторов, чтобы
Очевидно, неравенство (116) уже следует из неравенств (117), (118) и (119). Для доказательства неравенства (116) следует повторить рассуждение применительно к оператору Заметим попутно, что сингулярные числа операторов Отметим еще следующий факт, вытекающий из теоремы 8: Теорема 9. Пусть
– собственные числа оператора Тогда для любого набора (115) выполняется неравенство
Доказательство. Так как оператор
и, следовательно, собственные числа (120) являются квадратами сингулярных чисел оператора Применяя к произведению
|