§ 4. Максимально-минимальные свойства сумм и произведений собственных чисел эрмитовых операторов

В настоящем параграфе мы получим обобщение ряда результатов, относящихся к экстремальным свойствам собственных чисел эрмитовых операторов (см.  7 гл. X).

1. Для дальнейшего удобно придать теореме 12 гл. X, устанавливающей основное максимально-минимальное свойство собственных чисел, несколько иную формулировку.

Пусть  – эрмитов оператор, действующий в -мерном унитарном пространстве , и пусть

                     (61)

– его собственные числа. Обозначим через  -мерное подпространство пространства .

Справедлива следующая формула:

.                    (62)

В этой формуле минимум берется по всем нормированным векторам , принадлежащим некоторому фиксированному подпространству , а затем берется максимум по всем -мерным подпространствам. Равенство (62) составляет содержание теоремы 12 гл. X и представляет собой видоизмененную запись формулы (79). Действительно, всякое -мерное подпространство  может быть рассмотрено как совокупность векторов, удовлетворяющих некоторой системе  независимых линейных уравнений

                     (63)

(см. обозначения на стр. 288). Если ввести эрмитову форму  и выбирать лишь нормированные векторы , то тогда  и

.                    (64)

В силу (79) гл. X мы получаем:

,                       (65)

где  – номер собственного числа оператора  при нумерации, принятой в гл. X (в возрастающем порядке). Легко сообразить, что при новой нумерации . Таким образом, соотношение (62) действительно имеет место. Легко также видеть, что согласно (62)

,                (66)

.               (66)

Непосредственным обобщением равенства (66) является следующее предложение, принадлежащее Фаню [177а].

Теорема 3. Для любого эрмитова оператора  с собственными числами (61) и любого  справедлива формула

.                       (67)

Максимум в правой части (67) берется по всем системам взаимно ортогональных нормированных векторов

.              (68)

Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис собственных векторов оператора :

.

Полагая , легко найдем:

.              (69)

Расширим систему (68) до ортонормированного базиса в  и заметим, что

,                (70)

.                 (71)

Матрица , таким образом, является двояко стохастической. Из равенств (69) следует, что последовательность

,               (72)

связана с последовательностью (61) двояко стохастической матрицей. На основании леммы 1 (см. (10')) мы заключаем, что

.              (73)

Так как, далее, при   в формуле (73) достигается равенство, то теорема доказана.

Если наряду с оператором  ввести оператор , собственные числа которого, очевидно, равны  , то на основании доказанной теоремы можно легко заключить, что

.                     (74)

Эта формула обобщает равенство (66').

Замечание. Из неравенств (73) на основании леммы 2 заключаем, что для любой непрерывной выпуклой возрастающей функции  и любого  имеет место неравенство

,

где .

2. Дальнейшее обобщение формулы (62) связано с установлением максимально-минимальных свойств сумм собственных чисел эрмитова оператора  вида

,                   (75)

где  – некоторый набор натуральных чисел. Соответствующая теорема принадлежит Г. Виландту [260е].

Сохраняя в основном ход рассуждений Виландта, мы докажем более общее предложение, установленное Амир Моэзом [149]. Этим предложением мы воспользуемся и при оценке произведений собственных и сингулярных чисел.

Предварительно введем некоторые обозначения. Пусть

                        (76)

– фиксированный набор  натуральных чисел. Рассмотрим некоторую цепочку последовательно вложенных подпространств пространства :

,             (77)

где индекс указывает размерность подпространства. Пусть, далее,

            (78)

– система  взаимно ортогональных и нормированных векторов:

,                    (79)

таких, что

.                      (80)

Условимся называть систему векторов (78) системой, подчиненной цепочке (77).

Сформулируем и докажем теперь следующую лемму:

Лемма 7 (см. [149]).

Пусть  – эрмитов оператор с собственными числами

,                    (61)

и пусть

            (81)

– монотонно возрастающая по каждому аргументу функция  вещественных переменных . Пусть (77) – некоторая цепочка подпространств, построенная по фиксированному набору (76), и пусть

            (82)

– подчиненная этой цепочке система векторов. Обозначим через  оператор проектирования на подпространство

,                   (83)

натянутое на векторы (82), и пусть  – собственные числа эрмитова оператора

,                      (83')

рассматриваемого в подпространстве (83). Тогда

.               (84)

Поясним, что в формуле (84) сначала выбирается некоторая цепочка подпространств и находится минимум по всем подчиненным ей системам векторов; после этого берется максимум по всевозможным цепочкам.

Доказательство формулы (84), очевидно, сводится к доказательству следующих двух утверждений.

A. К любой цепочке (77) всегда можно подобрать такую подчиненную систему (78), что

.                       (85)

B. Существует такая цепочка (77), что для любой подчинённой ей системы векторов выполняется неравенство

.                       (86)

Докажем сначала утверждение В. Пусть

                 (87)

– базис собственных векторов оператора , соответствующих собственным числам (61).

Выберем следующую цепочку подпространств:

,            (88)

и покажем, что в этом случае неравенство (86) выполняется всегда. Пусть (78) – система векторов, подчиненная цепочке (88), и пусть  – некоторое -мерное подпространство, принадлежащее оболочке (83). Как мы видели [см. (62)], при любом выборе

.                  (89)

Заметив, что при , положим

.

Легко видеть, что при этом , вследствие чего мы получаем:

.                     (90)

Но минимум в правой части (90) достигается на собственном векторе  и равен . Сравнивая (90) и (89), мы заключаем, что

.

Отсюда в силу возрастания функции (81) следует (86). Таким образом, утверждение В доказано.

Утверждение А доказывается труднее. Мы проведем его по индукции, предполагая, что для операторов, действующих в -мерном пространстве, это утверждение справедливо. Заметим, что в случае  (пространство одномерно)  и неравенство (85) имеет место для любой функции .

Переходя к случаю -мерного пространства, мы можем считать, что . Действительно, при  подпространство (83) совпадает со всем пространством,  , и, следовательно, неравенство (85) справедливо.

При  мы разберем два подслучая:

1) Пусть , тогда существует некоторое -мерное подпространство , содержащее все подпространства цепочки (77). Пусть  – оператор проектирования на подпространство . Введем в  эрмитов оператор

.                  (91)

Ясно, что для всех  имеет место равенство . Если   – собственные числа оператора , то в силу теоремы 14 (стр. 291)

.                  (92)

По индуктивному предположению, для любой цепочки (77) в  найдется подчиненная ей система векторов (78) таких, что

.

Отсюда в силу (92) сразу следует, что неравенство (85) в рассматриваемом случае действительно имеет место.

2) Рассмотрим теперь случай . Пусть

                     (93)

– последние элементы набора (76), и пусть число  уже не принадлежит набору (76).

Обозначим через  наибольший из оставшихся номеров набора (76). Очевидно,

.                       (94)

Цепочка подпространств (77) в рассматриваемом случае может быть записана следующим образом:

.               (95)

Пусть

                  (96)

– собственные векторы оператора , занумерованные так же, как и в (87). Обозначим через  -мерное подпространство, содержащее векторы (96) (их всего ) и подпространство .

Такое подпространство действительно существует, ибо

.

Наряду с цепочкой (95) рассмотрим цепочку

,                       (97)

которая получается из цепочки (95), если каждое подпространство в (95) заменить его пересечением с подпространством . Ясно, что первые  подпространств цепочки (95) при этом не изменяются, так как они содержатся в ; последующие подпространства цепочки уменьшат свою размерность на единицу. Введем снова оператор  на подпространстве  по формуле (91). По индуктивному предположению, к цепочке (97) можно подобрать подчиненную систему векторов

                       (98)

таких, что

.                      (99)

В правой части штрихами обозначены собственные числа оператора . Согласно (92) имеем:

.                     (100)

Разумеется, на основании (92) мы не можем утверждать, что

.                (100')

Однако поскольку векторы (96) лежат в подпространстве , они являются собственными векторами оператора . Соответствующие им собственные числа  во всяком случае не меньше, чем числа , которые являются наименьшими собственными числами оператора . Таким образом, (100') имеет место, и в силу (100) и (100') мы заключаем, что

.                  (101)

Это неравенство вместе с (99) приводит к доказательству утверждения A, поскольку система векторов (98) подчинена не только цепочке (97), но и исходной цепочке (95). Таким образом, лемма 7 доказана полностью.

Из доказанной леммы вытекает следующая теорема:

Теорема 4 (см. [260e]). Пусть  – эрмитов оператор с собственными числами . Пусть

                        (102)

– фиксированный набор  натуральных чисел; тогда

,                   (103)

где минимум берется по всем системам векторов  , подчиненным цепочке .

Для доказательства заметим, что матрица оператора  (см. лемму 7) в ортонормированном базисе (82) имеет вид

,

так как

.

Поэтому сумма, стоящая в правой части (103), есть след оператора  и, значит, равна . Формула (103) после этих замечаний следует из леммы 7 при

.

Теорема 4 доказана.

Укажем, что формула (62), равно как и (67) и (74), является частным случаем теоремы 4.

В заключение установим следующее утверждение, тоже непосредственно вытекающее из леммы 7.

Теорема 5 (см. [149]). Пусть  – неотрицательно определенный эрмитов оператор, и пусть

– его собственные значения. Пусть  – фиксированный набор  натуральных чисел. Тогда

,                  (104)

где минимум берется по всем системам векторов, подчиненным цепочке .

Для доказательства теоремы достаточно в формуле (84) положить

и заметить, что стоящий в правой части (104) определитель равен .

Теоремами 4 и 5 мы воспользуемся в следующем параграфе при выводе неравенств для сумм и произведений собственных и сингулярных чисел.