§ 3. Неравенства Вейля

В настоящем параграфе мы выведем принадлежащие Г. Вейлю неравенства, которые позволяют оценивать собственные числа линейного оператора  посредством его сингулярных чисел. Нам понадобится следующее важное предложение:

Лемма 6. Пусть   – собственные числа линейного оператора , занумерованные так, что

,               (46)

и пусть

                   (47)

– сингулярные числа этого оператора. Тогда при любом  справедливы неравенства

.                  (48)

Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис

,                (49)

в котором матрица оператора  имеет треугольный вид. Существование такого базиса устанавливается теоремой Шура (см. гл. IX, стр. 242). Мы воспользуемся леммой 4 и двумя способами оценим определитель

.                      (50)

Пусть  – элементы матрицы оператора  в базисе (49). Имеем . Поскольку  при , то

                       (51)

и

.                   (52)

Формула (52) позволяет записать определитель (50) в виде следующего произведения двух определителей:

.               (53)

Поскольку  и оба определителя в правой части (53) равны произведению диагональных элементов, то

.                (54)

С другой стороны, в силу леммы 4

,             (55)

так как .

Неравенства (48) следуют теперь из соотношений (54) и (55). Лемма 6 доказана.

Используя неравенства (48), мы сейчас докажем следующую теорему:

Теорема 2 (см. [257]). Пусть  – линейный оператор и пусть  и   – его собственные и сингулярные числа, занумерованные так же, как и в лемме 6. Пусть  – непрерывная при  функция такая, что  – монотонно возрастающая выпуклая функция параметра . Тогда при любом  справедливы неравенства

.                     (56)

Доказательство. Если оператор  невырожден, то согласно (48) получаем:

                (57)

при всех . Отсюда на основании леммы 2 уже следуют неравенства (56). Если оператор  вырожден, то неравенства (56) могут быть получены по непрерывности. Теорема доказана.

Замечание 1. При  неравенство (48) превращается в равенство, так как в этом случае равенство имеет место в формуле (55). Следовательно, при  равенство достигается и в (57). Используя замечания к лемме 2, мы можем заключить, что  для любой функции , если только функция  выпукла. Возрастание оказывается нелишним требованием. Например, при любом вещественном

.                   (58)

Замечание 2. Рассмотрим функцию

,             (59)

где  фиксировано и положительно. Легко проверить, что функция (59) удовлетворяет всем условиям теоремы 2. Поэтому при любом , , имеем:

.

Потенцируя, получаем неравенство

,             (60)

которое используется в теории интегральных операторов.