§ 2. Неравенства Неймана-Хорна

Пусть – линейный оператор, действующий в -мерном унитарном пространстве . Собственные числа неотрицательного эрмитова оператора (см. стр. 249) принято называть сингулярными числами оператора .

В настоящем параграфе мы установим неравенства, связывающие сингулярные числа произведения двух операторов с сингулярными числами сомножителей.

Пусть и – два набора векторов из . Введем сокращенное обозначение для определителя порядка , связанного с данными наборами:

. (25)

Рассмотрим далее неотрицательный эрмитов оператор , действующий в . Собственные значения оператора занумеруем в убывающем порядке:

. (26)

Справедливо следующее предложение, принадлежащее А. Хорну ([191b]):

Лемма 3. Пусть

(27)

– произвольный набор векторов из . Тогда

. (28)

Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис собственных векторов оператора :

(29)

и разложим каждый из векторов по базису (29). Вычисляя скалярное произведение, получаем:

. (30)

Равенство (30) позволяет рассматривать матрицу определителя как результат умножения двух прямоугольных матриц размеров и .

Разлагая определитель по формуле Бине-Коши (см. стр. 20), получаем в принятых обозначениях для определителей:

. (31)

Здесь

, (31')

а суммирование ведется по всевозможным наборам натуральных чисел .

Оценив правую часть (31) по неравенству Коши-Буняковского, получим:

. (32)

Вторая сумма в правой части неравенства (32) равна определителю Грама . В Этом легко убедиться, положив в формуле (31) , где – единичный оператор. Впрочем, соответствующее равенство отдельно доказано на стр. 230 (формула (26)).

В первой сумме правой части (32) вынесем из каждого определителя (31') произведение и заменим его большим . В результате получим:

Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, мы устанавливаем справедливость неравенства (28). Докажем далее следующий факт.

Лемма 4. Пусть – произвольный оператор в и

(33)

– его сингулярные числа. Тогда для произвольного набора векторов справедливо неравенство

. (34)

Неравенство (34) немедленно следует из леммы 3 при .

Установим, наконец, еще одно вспомогательное предложение.

Лемма 5. Пусть и – линейные операторы в , и пусть и – сингулярные числа соответственно и , занумерованные в убывающем порядке. Тогда при любом справедливы неравенства

. (35)

Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис собственных векторов оператора . Последовательно применяя (34), получаем

. (36)

С другой стороны, поскольку – собственные векторы , мы имеем:

. (37)

Следовательно, (35) имеет место.

Мы в состоянии теперь доказать следующую теорему, которая является основной целью настоящего параграфа.

Теорема 1 (Нейман-Хорн [218b, 191b]). Пусть и - линейные операторы в -мерном унитарном пространстве . Пусть и пусть и – сингулярные числа операторов и , занумерованные в порядке убывания.

Пусть – непрерывная при функция такая, что – монотонно возрастающая выпуклая функция параметра . Тогда при всех справедливы неравенства

. (38)

Доказательство. Пусть сначала операторы и невырождены, тогда все числа и положительны. Логарифмируя неравенства (35), получаем

. (39)

На основании леммы 2 имеем

. (40)

Так как , то отсюда следует (38). В случае вырожденных операторов неравенства (38) устанавливаются по непрерывности.

Замечание 1. В случае получаем

. (41)

В таком виде неравенства (38) встречаются в приложениях чаще всего.

Замечание 2. При неравенство (39) превращается в равенство (см. сноску на стр. 540). Поэтому при неравенство (40) справедливо для любой непрерывной выпуклой функции (см. замечание к лемме 2).