§ 2. Неравенства Неймана-ХорнаПусть В настоящем параграфе мы установим неравенства, связывающие сингулярные числа произведения двух операторов с сингулярными числами сомножителей. Пусть
Рассмотрим далее неотрицательный эрмитов оператор
Справедливо следующее предложение, принадлежащее А. Хорну ([191b]): Лемма 3. Пусть
– произвольный набор векторов из
Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис собственных векторов оператора
и разложим каждый из векторов
Равенство (30) позволяет рассматривать матрицу определителя Разлагая определитель по формуле Бине-Коши (см. стр. 20), получаем в принятых обозначениях для определителей:
Здесь
а суммирование ведется по всевозможным наборам натуральных чисел Оценив правую часть (31) по неравенству Коши-Буняковского, получим:
Вторая сумма в правой части неравенства (32) равна определителю Грама В первой сумме правой части (32) вынесем из каждого определителя (31') произведение
Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратные корни, мы устанавливаем справедливость неравенства (28). Докажем далее следующий факт. Лемма 4. Пусть
– его сингулярные числа. Тогда для произвольного набора векторов
Неравенство (34) немедленно следует из леммы 3 при Установим, наконец, еще одно вспомогательное предложение. Лемма 5. Пусть
Для доказательства рассмотрим ортонормированный базис
С другой стороны, поскольку
Следовательно, (35) имеет место. Мы в состоянии теперь доказать следующую теорему, которая является основной целью настоящего параграфа. Теорема 1 (Нейман-Хорн [218b, 191b]). Пусть Пусть
Доказательство. Пусть сначала операторы
На основании леммы 2 имеем
Так как Замечание 1. В случае
В таком виде неравенства (38) встречаются в приложениях чаще всего. Замечание 2. При В частности, неравенство (41) при Замечание 3. Пусть – сингулярные числа оператора – сингулярные числа оператора
Неравенства (42) докажем индукцией по
Применяя к правой части (43) неравенство Гёльдера с
получаем
По предположению индукции, имеем для первой суммы в правой части (44):
Учитывая, что во второй сумме правой части (44)
что и требовалось доказать. В частности, при
|