§ 1. Мажорирующие последовательности

В этом параграфе мы остановимся на ряде вспомогательных вопросов, связанных с конечными числовыми последовательностями. Рассмотрим две убывающие последовательности чисел, по элементов в каждой:

, (1)

. (2)

Принято говорить, что последовательность (2) мажорируется последовательностью (1), если

(3)

. (3')

При выполнении условий (3) и (3') пишут

. (4)

Квадратную матрицу мы будем в дальнейшем называть двояко стохастической, если матрицы и являются стохастическими, другими словами, если ,

, (5)

. (5')

Справедливо следующее утверждение (см. [35], стр. 63).

Лемма 1. Последовательность мажорируется последовательностью тогда и только тогда, когда существует двояко стохастическая матрица такая, что

. (6)

Достаточность условия (6) доказывается легко. В самом деле,

. (7)

Мы положили

. (8)

Легко видеть, что и

. (9)

Имеем на основании равенства (7)

. (10)

Уменьшая слагаемые в правой части, получаем

. (10')

Следовательно, неравенства (3) имеют место. Так как, далее, при согласно (8) , то в силу (7) справедливо и равенство (3').

Таким образом, достаточность условия (6) установлена. Доказательство необходимости этого условия требует известных усилий. Мы проведем его по индукции. В случае последовательности содержат по одному элементу, и матрица , очевидно, существует. Предположим, что утверждение справедливо для случая последовательностей из элементов и рассмотрим две последовательности и , которые связаны соотношением и состоят из элементов.

Из условия и равенства (3) следует, что . Поэтому найдется такое , при котором

. (11)

Следовательно, при некотором , , мы имеем

. (12)

Наряду с и рассмотрим две последовательности по элементов в каждой:

(13)

. (13')

Обозначим эти последовательности через и соответственно.

Учитывая (11), легко заключить, что элементы последовательности расположены в порядке убывания. Без труда проверяется также соотношение . Поэтому в силу индуктивного предположения существует такая двояко стохастическая матрица , что , или в развернутой записи:

Подставив сюда из равенства (12), получим при :

Добавляя сюда равенство , легко убеждаемся в том, что последовательности и связаны двояко стохастической матрицей

Лемма доказана полностью.

Нам понадобится ниже также следующее предложение (см. 233):

Лемма 2. Пусть – непрерывная выпуклая монотонно возрастающая функция. Пусть

, (14)

(15)

. (16)

Тогда

. (17)

Доказательство. Предположим сначала, что при в соотношении (16) имеет место равенство. Тогда последовательность мажорируется последовательностью и согласно лемме 1

, (18)

где - элементы двояко стохастической матрицы. В силу выпуклости из равенства (18) следует, что

. (19)

Суммируя неравенства (19), получаем

. (20)

Таким образом, в указанном случае неравенство (17) выполняется.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть в соотношении (16) при имеет место знак . Положим

Наряду с последовательностями (14) и (15) рассмотрим две последовательности:

(21)

, (22)

где и – произвольные два числа, удовлетворяющие неравенствам (21) и (22) и соотношению

. (23)

Легко видеть, что при таком выборе и последовательность (21) мажорируется последовательностью (22), и по доказанному имеем

. (24)

Так как, далее, – монотонно возрастающая функция и , то и из (24) снова следует неравенство (17).

Лемма доказана полностью.

Замечание. Из наших рассуждений следует, что в том случае, когда последовательность (14) мажорируется последовательностью (15) [т. е. при в (16) достигается равенство], то неравенство (17) справедливо для любой непрерывной выпуклой функции (возрастание является излишним требованием).