§ 8. Линейные операторы простой структуры

Начнем со следующей леммы.

Лемма. Собственные векторы соответствующие попарно различным характеристическим числам, всегда линейно независимы.

Доказательство. Пусть

         (60)

и пусть

.                                                          (61)

Применяя к обеим частям этого равенства оператор  получим:

.                                                       (62)

Умножим обе части равенства (61) на , и вычтем почленно (61) из (62). Тогда получим:

.                                               (63)

Можно сказать, что равенство (63) было получено из (61) путем почленного применения оператора . Применяя к (63) почленно операторы , мы придем к следующему равенству:

,

откуда . Так как в (61) любое слагаемое может быть поставлено на последнее место, то в (61)

,

т. е. между векторами  нет линейной зависимости. Лемма доказана.

Если характеристическое уравнение оператора имеет  различных корней и эти корни принадлежат полю , то на основании леммы собственные векторы, соответствующие этим корням, линейно независимы.

Определение 11. Линейный оператор  в  называется оператором простой структуры, если  имеет в   линейно независимых собственных векторов, где  — число измерений.

Таким образом, линейный оператор в  имеет простую структуру, если все корни характеристического уравнения различны между собой и принадлежат полю . Однако это условие не является необходимым. Существуют линейные операторы простой структуры, у которых характеристический многочлен имеет кратные корни.

Рассмотрим произвольный линейный оператор  простой структуры. Обозначим через  базис в , состоящий из собственных векторов оператора, т. е.

    .

Если

, то .

Другими словами, воздействие оператора  простой структуры на вектор  может быть описано следующим образом:

В -мерном пространстве  существует  линейно независимых «направлений», вдоль которых оператор простой структуры  осуществляет «растяжение» с коэффициентами . Произвольный вектор  может быть разложен на компоненты, идущие вдоль этих собственных направлений. Эти компоненты подвергаются соответствующим «растяжениям», после чего они в сумме дают вектор .

Нетрудно видеть, что оператору  в «собственном» базисе  соответствует диагональная матрица

.

Если мы через  обозначим матрицу, отвечающую оператору  в произвольном базисе , то

.                 (64)

Матрицу, подобную диагональной, будем называть матрицей простой структуры. Таким образом, оператору простой структуры в любом базисе отвечает матрица простой структуры и наоборот.

Матрица  в равенстве (64) осуществляет переход от базиса  к базису . В -м столбце матрицы  стоят координаты (в базисе ) собственного вектора, соответствующего характеристическому числу  матрицы  (). Матрица  называется фундаментальной матрицей для матрицы .

Равенство (64) перепишем так:

      . (64')

Переходя к -м ассоциированным матрицам (), получим (см. гл. I, § 4):

;                     (65)

  — диагональная матрица -го порядка (), у которой на главной диагонали стоят всевозможные произведения по  из . Сопоставление (65) с (64') дает нам теорему:

Теорема 3. Если матрица  имеет простую структуру, то при любом  ассоциированная матрица  также имеет простую структуру; при этом характеристическими числами матрицы  являются всевозможные произведения по   () из характеристических чисел  матрицы , а фундаментальной матрицей матрицы  является ассоциированная  для фундаментальной матрицы  матрицы .

Следствие. Если характеристическому  числу  матрицы простой структуры  отвечает собственный вектор с координатами   и , то характеристическому числу  () матрицы  отвечает собственный вектор с координатами

     .      (66)

Произвольную матрицу  можно представить в виде предела последовательности матриц , каждая из которых не имеет кратных характеристических чисел и поэтому имеет простую структуру. Характеристические числа  матрицы  в пределе при  переходят в характеристические числа  матрицы , т. е.

  .

Отсюда

  .

Так как, кроме того, , то из теоремы 3 вытекает

Теорема 4 (Кронекера). Если  — полная система характеристических чисел произвольной матрицы , то полная система характеристических чисел ассоциированной матрицы  состоит из всевозможных произведений по  из чисел  .

В этом параграфе мы исследовали операторы и матрицы простой структуры. Изучение структуры операторов и матриц общего типа будет произведено в главах VI и VII.