Глава IV. Характеристический и минимальный многочлены матрицы

С каждой квадратной матрицей связаны два многочлена: характеристический и минимальный. Эти многочлены играют большую роль в различных вопросах теории матриц. Так, например, понятие о функции от матрицы, которое мы введем в следующей главе, будет целиком основываться на понятии о минимальном многочлене матрицы. В этой главе рассматриваются свойства характеристического и минимального многочлена. Этому исследованию предпосылаются основные сведения о многочленах с матричными коэффициентами и о действиях над ними.

§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов

Рассмотрим квадратную многочленную матрицу , т. е. квадратную матрицу, элементами которой являются многочлены относительно  (с коэффициентами из данного числового поля ):

.                        (1)

Матрицу  можно представить в виде многочлена с матричными коэффициентами, расположенного по степеням :

,                        (2)

где

     .                            (3)

Число  называется степенью многочлена, если . Число  называется порядком многочлена. Многочлен (1) будем называть регулярным, если .

Многочлен с матричными коэффициентами мы будем иногда называть матричным многочленом. В отличие от матричного многочлена обычный многочлен со скалярными коэффициентами будем называть скалярным многочленом.

Рассмотрим основные действия над матричными многочленами. Пусть даны два матричных многочлена одного и того же порядка  и . Обозначим через  наибольшую из степеней этих многочленов. Эти многочлены можно записать в виде

,

.

Тогда

,

т. е. сумма (разность) двух матричных многочленов одного и того же порядка может быть представлена в виде многочлена, степень которого не превосходит наибольшей из степеней данных многочленов.

Пусть даны два матричных многочлена  и  степеней  и  одного и того же порядка :

       ,

        .

Тогда

.         (4)

Если бы мы перемножили  на  (т. е. изменили бы порядок сомножителей), то мы получили бы, вообще говоря, другой многочлен.

Умножение матричных многочленов обладает еще одним специфичным свойством. В отличие от произведения скалярных многочленов произведение матричных многочленов (4) может иметь степень, меньшую , т. е. меньшую суммы степеней сомножителей. Действительно, в (4) произведение матриц  может равняться нулю при  и . Однако, если хотя бы одна из матриц  и  неособенная, то из  и  следует: . Таким образом, произведение двух матричных многочленов равно многочлену, степень которого меньше или равна сумме степеней сомножителей. Если хотябы один из двух сомножителей регулярный многочлен, то в этом случае степень произведения всегда равна сумме степеней сомножителей.

Матричный многочлен -го порядка  можно записать двояко:

      (5)

и

.     (5')

Обе записи при скалярном  дают один и тот же результат. Однако если мы пожелаем вместо скалярного аргумента  подставить квадратную матрицу -го порядка , то результаты подстановок в (5) и (5') будут, вообще говоря, различны, так как степени матрицы  могут не быть перестановочными с матричными коэффициентами .

Положим

     (6)

и

      (6')

и будем называть  правым, а  левым значением матричного многочлена  при подстановке вместо  матрицы .

Рассмотрим снова два матричных многочлена

, 

и их произведение

  (7')

и

.    (7'')

Преобразования в тождестве (7') сохраняют свою силу при замене  матрицей -го порядка , если только матрица  перестановочна со всеми матричными коэффициентами . Аналогично в тождестве (7") можно заменить скаляр  матрицей , если матрица  перестановочна со всеми коэффициентами . В первом случае получаем:

,        (8')

во втором

.        (8'')

Таким образом, правое (левое) значение произведения двух матричных многочленов равно произведению правых (левых) значений сомножителей, если матрица-аргумент  перестановочна со всеми коэффициентами правого (левого) сомножителя.

Если  — сумма двух матричных многочленов -го порядка  и , то при замене скаляра  любой матрицей -го порядка  всегда справедливы тождества

,  .      (9)