§ 2. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу

Пусть даны два матричных многочлена  и  одного и того же порядка , причем  — регулярный многочлен:

       ,

        .

Мы будем говорить, что матричные многочлены  и  являются соответственно правым частным и правым остатком при делении  на , если

                (10)

и степень  меньше степени .

Совершенно аналогично будем называть многочлены  и  соответственно левым частным и левым остатком при делении  на , если

           (11)

и степень  меньше степени .

Обратим внимание читателя, что при «правом» делении (т. е. при нахождении правого частного и правого остатка) в (5) на «делитель»  частное  умножается справа, а при «левом» делении (6) на делитель  частное  умножается слева. В общем случае многочлены  и  не совпадают с  и .

Покажем, что как правое, так и левое деление матричных многочленов одного и того же порядка всегда выполнимо и однозначно, если делитель — регулярный многочлен.

Рассмотрим правое деление  на . Если , можно положить , . В случае  для нахождения частного  и остатка  применим обычную схему деления многочлена на многочлен. «Разделим» старший член делимого  на старший член делителя . Получим старший член искомого частного . Умножим этот член справа на делитель  и полученное произведение вычтем из . Найдем «первый остаток» :

.       (12)

Степень  многочлена  меньше :

    .     (13)

Если , то, повторяя этот процесс, получаем:

    (14)

и т. д.

Так как степени многочленов , , , … убывают, то на некотором этапе мы придем к остатку , степень которого меньше . Тогда из (12) — (14) будет следовать:

,

где

Докажем теперь однозначность правого деления. Пусть одновременно

                          (15)

и

,                      (15')

где степени многочленов  и  меньше степени , т. е. меньше . Вычитая почленно (11) из (12), получим:

.    (16)

Если бы , то, поскольку , степень левой части равенства (16) равнялась бы сумме степеней  и  и поэтому была бы . Это невозможно, так как степень многочлена, стоящего в правой части равенства (16), меньше . Таким образом, , а тогда из (16) , т. е.

,  .

Совершенно аналогично устанавливаются существование и единственность левого частного и левого остатка.

Пример.

,

, , , ,

, ,

,

.

Предлагаем читателю в качестве упражнения непосредственно проверить, что

.

Рассмотрим произвольный матричный многочлен -го порядка

        .                   (17)

Разделим его на бином  справа и слева:

,     .    (18)

В данном случае правый остаток  и левый остаток  не будут зависеть от . Для определения правого значения  и левого  можно соответственно в тождествах (18) заменить скаляр  на матрицу , поскольку матрица  перестановочна с матричными коэффициентами бинома  (см. § 1):

,        .     (19)

Нами доказана

Теорема 1 (обобщенная теорема Безу). При правом (левом) делении матричного многочлена  на бином  остаток от делителя равен  (соответственно ).

Из доказанной теоремы следует, что многочлен  делиться без остатка справа (слева) на бином  тогда и только тогда, когда  (соответственно ).

Пример пусть  и  — многочлен относительно . Тогда

делиться (слева и справа) без остатка на . Это следует непосредственно из обобщенной теоремы Безу, поскольку в данном случае .