§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица

1. Рассмотрим матрицу . Характеристической, матрицей для матрицы называется матрица . Определитель характеристической матрицы

представляет собой скалярный многочлен относительно и называется характеристическим многочленом матрицы (см. гл. III, § 7).

Матрицу где — алгебраическое дополнение элемента в определителе , мы будем называть присоединенной матрицей для матрицы .

Так, например, для матрицы

будем иметь:

Из приведенных определений следуют тождества относительно :

, (20)

. (20')

Правые части этих равенств мы можем рассматривать как многочлены с матричными коэффициентами (каждый из этих коэффициентов равен произведению скаляра на единичную матрицу ). Многочленную матрицу можно также представить в виде многочлена, расположенного по степеням . Равенства (20) и (20') показывают, что делится слева и справа на без остатка. Согласно обобщенной теореме Безу это возможно лишь тогда, когда остаток равен нулю. Нами доказана

Теорема 2 (Гамильтона-Кэли). Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е.

. (21)

Пример.

2. Обозначим через все характеристические числа матрицы , т. е. все корни характеристического многочлена (каждое из чисел повторяется в этом ряду столько раз, какова его кратность как корня многочлена ). Тогда

. (22)

Пусть дан произвольный скалярный многочлен . Найдем характеристические числа матрицы . Для этого разложим на линейные множители

. (23)

Подставим в обе части этого тождества вместо матрицу :

. (24)

Переходя к определителям в обеих частях равенства (24) и используя равенства (22) и (23), получим:

Заменив в равенстве

(25)

многочлен на , где — некоторый параметр, найдем:

(26)

Из этого равенства вытекает следующая

Теорема 3. Если — все характеристические числа (с учетом кратностей) матрицы , — некоторый скалярный многочлен, то — все характеристические числа матрицы .

В частности, если матрица имеет характеристические числа , то матрица имеет характеристические числа .

3. Укажем эффективную формулу, выражающую присоединенную матрицу через характеристический многочлен .

Пусть

. (27)

Разность делится без остатка на . Поэтому

(28)

есть многочлен относительно и .

Тождество

(29)

не нарушится, если в него вместо и подставить перестановочные между собой матрицы и . Тогда, поскольку согласно теореме Гамильтона — Кэли ,

. (30)

Сопоставляя между собой равенства (20') и (30), из однозначности частного получаем искомую формулу

. (31)

Отсюда в силу (28)

, (32)

где

, , …

и вообще

. (33)

Матрицы можно вычислять последовательно, исходя из рекуррентных соотношений

. (34)

При этом

. (35)

Соотношения (34) и (35) непосредственно получаются из тождества (20), если в обеих частях этого тождества приравнять между собой коэффициенты при одинаковых степенях .

Если — неособенная матрица, то

и из (35) следует:

. (36)

Пусть — характеристическое число матрицы , т. е. . Подставив в (20) вместо значение найдем:

. (37)

Допустим, что матрица , и обозначим через любой ненулевой столбец этой матрицы. Тогда из (37) или

. (38)

Следовательно, любой ненулевой столбец матрицы определяет собственный вектор, соответствующий характеристическому числу .

Таким образом, если коэффициенты характеристического многочлена известны, то присоединенная матрица может быть найдена по формуле (31). Если данная матрица неособенная то по формуле (36) находится обратная матрица . Если — характеристическое число матрицы , то ненулевые столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы для .