§ 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы

Д. К. Фаддеев предложил метод одновременного определения скалярных коэффициентов  характеристического многочлена

         (39)

и матричных коэффициентов  присоединенной матрицы .

Для изложения метода Д. К. Фаддеева введем понятие о следе матрицы.

Под следом матрицы  (обозначение: ) понимают сумму диагональных элементов этой матрицы:

.                                      (40)

Нетрудно видеть, что

,                              (41)

если  — характеристические числа матрицы , т. е.

.      (42)

Так как, согласно теореме 3, степень матрицы  имеет своими характеристическими числами степени   (), то

     .     (43)

Суммы  степеней корней многочлена (39) связаны с коэффициентами этого уравнения формулами Ньютона

   .    (44)

Если вычислить следы  матриц , то затем можно из уравнений (44) последовательно определить коэффициенты . В этом состоит метод Леверрье определения коэффициентов характеристического многочлена по следам степеней матрицы.

Д. К. Фаддеев предложил вместо следов степеней  вычислить последовательно следы некоторых других матриц  и с их помощью определить  и  следующими формулами:

    (45)

Последнее равенство  может быть использовано для контроля вычислений.

Для того чтобы убедиться, что числа  и матрицы  и последовательно определяемые по формулам (45), являются коэффициентами  и , заметим, что из (45) вытекают следующие формулы для  и  ():

,   .   (46)

Приравняем между собой следы левой и правой частей первой из этих формул; получим:

.

Но эти формулы совпадают с формулами Ньютона (44), по которым последовательно определяются коэффициенты характеристического многочлена . Следовательно, числа  определяемые по формулам (45), и являются коэффициентами . Но тогда вторые формулы (46) совпадают с формулами (33), но которым определяются матричные коэффициенты  присоединенной матрицы . Следовательно, формулы (45) определяют и коэффициенты  матричного многочлена .

Пример.

,  ,  ,

,  ,  ;

,  ,  ;

,  , ,

,  .

Замечание. Если мы хотим определить  и только первые столбцы в ,, то достаточно вычислить в  элементы 1-го столбца и только диагональные элементы остальных столбцов, в  — только элементы 1-го столбца, в  — только два первых элемента 1-го столбца.