§ 4. Метод Д. К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы
Д. К. Фаддеев предложил метод одновременного определения скалярных коэффициентов
характеристического многочлена
(39)
и матричных коэффициентов
присоединенной матрицы
.
Для изложения метода Д. К. Фаддеева введем понятие о следе матрицы.
Под следом матрицы
(обозначение:
) понимают сумму диагональных элементов этой матрицы:
. (40)
Нетрудно видеть, что
, (41)
если
— характеристические числа матрицы
, т. е.
. (42)
Так как, согласно теореме 3, степень матрицы
имеет своими характеристическими числами степени
(
), то
. (43)
Суммы
степеней корней многочлена (39) связаны с коэффициентами этого уравнения формулами Ньютона
. (44)
Если вычислить следы
матриц
, то затем можно из уравнений (44) последовательно определить коэффициенты
. В этом состоит метод Леверрье определения коэффициентов характеристического многочлена по следам степеней матрицы.
Д. К. Фаддеев предложил вместо следов степеней
вычислить последовательно следы некоторых других матриц
и с их помощью определить
и
следующими формулами:
(45)
Последнее равенство
может быть использовано для контроля вычислений.
Для того чтобы убедиться, что числа
и матрицы
и последовательно определяемые по формулам (45), являются коэффициентами
и
, заметим, что из (45) вытекают следующие формулы для
и
(
):
,
. (46)
Приравняем между собой следы левой и правой частей первой из этих формул; получим:
.
Но эти формулы совпадают с формулами Ньютона (44), по которым последовательно определяются коэффициенты характеристического многочлена
. Следовательно, числа
определяемые по формулам (45), и являются коэффициентами
. Но тогда вторые формулы (46) совпадают с формулами (33), но которым определяются матричные коэффициенты
присоединенной матрицы
. Следовательно, формулы (45) определяют и коэффициенты
матричного многочлена
.
Пример.
,
,
,
,
,
;
,
,
;
,
,
,
,
.
Замечание. Если мы хотим определить
и только первые столбцы в
,
,
то достаточно вычислить в
элементы 1-го столбца и только диагональные элементы остальных столбцов, в
— только элементы 1-го столбца, в
— только два первых элемента 1-го столбца.