§ 5. Минимальный многочлен матрицы
Определение 1. Скалярный многочлен
называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы
, если
.
Аннулирующий многочлен
наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным многочленом матрицы
.
Согласно теореме Гамильтона—Кэли характеристический многочлен
матрицы
является аннулирующим для этой матрицы. Однако, как будет показано ниже, в общем случае он не является минимальным.
Разделим произвольный аннулирующий многочлен
на минимальный:
,
где степень
меньше степени
. Отсюда имеем:
.
Поскольку
и
, то, значит, и
. Но степень
меньше степени минимального многочлена
. Поэтому
. Таким образом, произвольный аннулирующий многочлен матрицы всегда делится без остатка на ее минимальный многочлен.
Пусть два многочлена
и
являются минимальными для одной и той же матрицы. Тогда каждый из них делится на другой многочлен без остатка, т. е. эти многочлены отличаются постоянным множителем. Этот постоянный множитель равен единице, поскольку равны единице старшие коэффициенты в
и
. Мы доказали единственность минимального многочлена, для данной матрицы
.
Выведем формулу, связывающую минимальный многочлен с характеристическим.
Обозначим через
наибольший общий делитель всех миноров
-го порядка характеристической матрицы
, т. е. наибольший общий делитель всех элементов присоединенной матрицы
(см. предыдущий параграф); при этом старший коэффициент в
берем равным единице. Тогда
, (47)
где
— некоторая многочленная матрица, «приведенная» присоединенная матрица для
. Из (20) и (47) находим:
. (48)
Отсюда следует, что
делится без остатка на
:
, (49)
где
— некоторый многочлен. Обе части тождества (48) можно сократить на
:
. (50)
Поскольку
делится без остатка слева на
, то в силу обобщенной теоремы Безу
.
Таким образом, многочлен
, определенный формулой (49), является аннулирующим многочленом для матрицы
. Докажем, что он является минимальным многочленом.
Обозначим минимальный многочлен через
. Тогда
делится без остатка на
:
. (51)
Поскольку
, то в силу обобщенной теоремы Безу матричный многочлен
делиться слева без остатка на
:
. (52)
Из (51) и (52) следует:
. (53)
Тождества (50) и (53) показывают, что как
, так и
являются левыми частными при делении
на
. В силу однозначности деления
.
Отсюда следует, что
является общим делителем всех элементов многочленной матрицы
. Но, с другой стороны, наибольший общий делитель всех элементов приведенной присоединенной матрицы
равен единице, поскольку эта матрица была получена из
путем деления на
. Поэтому
. Так как старшие коэффициенты в
и
равны единице, то в (51)
, т. е.
, что и требовалось доказать.
Мы установили следующую формулу для минимального многочлена:
. (54)
Для приведенной присоединенной матрицы
имеем формулу, аналогичную формуле (31) (на стр. 94):
, (55)
где многочлен
определяется равенством
. (56)
Кроме того,
. (57)
Переходя к определителям в обеих частях равенства (57), получаем:
. (58)
Таким образом,
делится без остатка на
, а некоторая степень
делится без остатка на
, т. е. совокупность всех различных между собой корней у многочлена
и
одна и та же. Другими словами, корнями
служат все различные между собой характеристические числа матрицы
.
Если
(59)
,
то
, (60)
где
. (61)
Отметим еще одно свойство матрицы
. Пусть
- какое-либо характеристическое число матрицы
. Тогда
, и потому согласно (57)
. (62)
Заметим, что всегда
. Действительно, в противном случае все элементы приведенной присоединенной матрицы
делились бы без остатка на
что невозможно.
Обозначим через
любой ненулевой столбец матрицы
. Тогда из (62)
,
т. е.
. (63)
Другими словами, любой ненулевой столбец матрицы
(а такой столбец всегда имеется) определяет собственный вектор для
.
Пример.
,
,
,

Все элементы матрицы
делятся на
. Сокращая этот множитель, получим:

и

Подставим в
вместо
значение
:

Первый столбец дает нам собственный вектор
для
. Второй столбец дает нам собственный вектор
для того же характеристического числа
. Третий столбец есть линейная комбинация первых двух.
Точно так же, полагая
, из первого столбца матрицы
найдем собственный вектор
, отвечающий характеристическому числу
.
Обратим внимание читателя на то, что
и
можно было бы определить иначе.
Находим сначала
.
может иметь своими корнями только числа 2 и 4. При
в
минор второго порядка
не обращается в нуль. Поэтому
. При
столбцы матрицы
становятся пропорциональными. Поэтому все миноры второго порядка в
при
равны нулю:
. Так как вычисленный минор имеет первую степень, то
не может делиться на
. Следовательно,
.
Отсюда
,
,
.