§ 5. Минимальный многочлен матрицы

Определение 1. Скалярный многочлен называется аннулирующим многочленом квадратной матрицы , если

Аннулирующий многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным единице, называется минимальным многочленом матрицы .

Согласно теореме Гамильтона—Кэли характеристический многочлен матрицы является аннулирующим для этой матрицы. Однако, как будет показано ниже, в общем случае он не является минимальным.

Разделим произвольный аннулирующий многочлен на минимальный:

где степень меньше степени . Отсюда имеем:

Поскольку и , то, значит, и . Но степень меньше степени минимального многочлена . Поэтому . Таким образом, произвольный аннулирующий многочлен матрицы всегда делится без остатка на ее минимальный многочлен.

Пусть два многочлена и являются минимальными для одной и той же матрицы. Тогда каждый из них делится на другой многочлен без остатка, т. е. эти многочлены отличаются постоянным множителем. Этот постоянный множитель равен единице, поскольку равны единице старшие коэффициенты в и . Мы доказали единственность минимального многочлена, для данной матрицы .

Выведем формулу, связывающую минимальный многочлен с характеристическим.

Обозначим через наибольший общий делитель всех миноров -го порядка характеристической матрицы , т. е. наибольший общий делитель всех элементов присоединенной матрицы (см. предыдущий параграф); при этом старший коэффициент в берем равным единице. Тогда

, (47)

где — некоторая многочленная матрица, «приведенная» присоединенная матрица для . Из (20) и (47) находим:

. (48)

Отсюда следует, что делится без остатка на :

, (49)

где — некоторый многочлен. Обе части тождества (48) можно сократить на :

. (50)

Поскольку делится без остатка слева на , то в силу обобщенной теоремы Безу

Таким образом, многочлен , определенный формулой (49), является аннулирующим многочленом для матрицы . Докажем, что он является минимальным многочленом.

Обозначим минимальный многочлен через . Тогда делится без остатка на :

. (51)

Поскольку , то в силу обобщенной теоремы Безу матричный многочлен делиться слева без остатка на :

. (52)

Из (51) и (52) следует:

. (53)

Тождества (50) и (53) показывают, что как , так и являются левыми частными при делении на . В силу однозначности деления

Отсюда следует, что является общим делителем всех элементов многочленной матрицы . Но, с другой стороны, наибольший общий делитель всех элементов приведенной присоединенной матрицы равен единице, поскольку эта матрица была получена из путем деления на . Поэтому . Так как старшие коэффициенты в и равны единице, то в (51) , т. е. , что и требовалось доказать.

Мы установили следующую формулу для минимального многочлена:

. (54)

Для приведенной присоединенной матрицы имеем формулу, аналогичную формуле (31) (на стр. 94):

, (55)

где многочлен определяется равенством

. (56)

Кроме того,

. (57)

Переходя к определителям в обеих частях равенства (57), получаем:

. (58)

Таким образом, делится без остатка на , а некоторая степень делится без остатка на , т. е. совокупность всех различных между собой корней у многочлена и одна и та же. Другими словами, корнями служат все различные между собой характеристические числа матрицы .

Если

(59)

то

, (60)

где

. (61)

Отметим еще одно свойство матрицы . Пусть - какое-либо характеристическое число матрицы . Тогда , и потому согласно (57)

. (62)

Заметим, что всегда . Действительно, в противном случае все элементы приведенной присоединенной матрицы делились бы без остатка на что невозможно.

Обозначим через любой ненулевой столбец матрицы . Тогда из (62)

т. е.

. (63)

Другими словами, любой ненулевой столбец матрицы (а такой столбец всегда имеется) определяет собственный вектор для .

Пример.

Все элементы матрицы делятся на . Сокращая этот множитель, получим:

Подставим в вместо значение :

Первый столбец дает нам собственный вектор для . Второй столбец дает нам собственный вектор для того же характеристического числа . Третий столбец есть линейная комбинация первых двух.

Точно так же, полагая , из первого столбца матрицы найдем собственный вектор , отвечающий характеристическому числу .

Обратим внимание читателя на то, что и можно было бы определить иначе.

Находим сначала . может иметь своими корнями только числа 2 и 4. При в минор второго порядка не обращается в нуль. Поэтому . При столбцы матрицы становятся пропорциональными. Поэтому все миноры второго порядка в при равны нулю: . Так как вычисленный минор имеет первую степень, то не может делиться на . Следовательно,

Отсюда