§ 1. Определение функции от матрицы

Глава V. Функции от матрицы

§ 1. Определение функции от матрицы

Пусть даны квадратная матрица и функция скалярного аргумента. Требуется определить, что следует понимать под , т. е. требуется распространить функцию и на матричные значения аргумента.

Решение этой задачи нам известно для простейшего случая, когда — многочлен относительно . В этом случае . Исходя из этого частного случая, постараемся определить в общем случае.

Обозначим через

(1)

минимальный многочлен матрицы (здесь - все различные характеристические числа матрицы ). Степень этого многочлена .

Пусть два многочлена и таковы, что

. (2)

Тогда разность , будучи аннулирующим многочленом для матрицы , делится на без остатка, что запишем так:

. (3)

Отсюда в силу (1)

, ,

т. е.

. (4)

чисел

(5)

будем условно называть значениями функции на спектре матрицы и совокупность этих значений символически обозначать через . Если для функции существуют (т. е. имеют смысл) значения (5), то мы будем говорить, что функция определена на спектре матрицы .

Равенства (4) показывают, что многочлены и имеют одни и те же значения на спектре матрицы . В символической записи

Рассуждения наши обратимы: из (4) вытекают (3) и, следовательно, (2).

Таким образом, если задана матрица , то значения многочлена на спектре матрицы вполне определяют матрицу , т. е. все многочлены , принимающие одни и те же значения на спектре матрицы , имеют одно и то же матричное значение .

Мы потребуем, чтобы определение в общем случае подчинялось такому же принципу: значения функции на спектре матрицы должны полностью определять , т. е. все функции , имеющие одни и те же значения на спектре матрицы , должны иметь одно и то же матричное значение .

Но тогда, очевидно, для определения в общем случае достаточно подыскать такой многочлен , который принимал бы те же значения на спектре матрицы , что и , и положить:

Таким образом, приходим к следующему определению:

Определение 1'. Если функция определена на спектре матрицы , то

где – любой многочлен, принимающий на спектре матрицы те же значения, что и :

Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и , имеется один и только один многочлен степени . Этот многочлен однозначно определяется интерполяционными условиями:

, , …, . (6)

Многочлен называют интерполяционным многочленом Лагранжа–Сильвестра для функции на спектре матрицы . Определение 1 можно еще сформулировать так:

Определение 1'. Пусть – функция, определенная на спектре матрицы , а – соответствующий интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра. Тогда

Замечание. Если минимальный многочлен матрицы не имеет кратных корней [в равенстве (1) ; ], то для того, чтобы имело смысл, достаточно, чтобы функция была определена в характеристических точках . Если же имеет кратные корни, то в некоторых характеристических точках должны быть определены и производные от до известного порядка [см. (6)].

Пример 1. Рассмотрим матрицу

Для нее минимальным многочленом будет . Поэтому значениями на спектре будут числа , и многочлен будет иметь вид

Таким образом,

Пример 2. Рассмотрим матрицу

Заметом, что и, следовательно, . Минимальным многочленом для , очевидно, будет . Интерполяционный многочлен для функции определится равенством

Поэтому

Отметим три свойства функции от матрицы.

1. Если – характеристические числа матрицы -го порядка , то – полная система характеристических чисел матрицы .

В частном случае, когда – многочлен, это предложение было доказано на стр. 94. Доказательство для общего случая сводится к этому частному случаю, поскольку (в силу определения 1') и , где – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции .

2. Если две матрицы и подобны и матрица преобразует в :

то матрицы и подобны и та же матрица преобразует в

Действительно, две подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены и, следовательно, функция принимает одни и те же значения как на спектре матрицы , так и на спектре матрицы . Поэтому существует интерполяционный многочлен такой, что , . Но тогда из равенства следует: