Глава V. Функции от матрицы
§ 1. Определение функции от матрицы
Пусть даны квадратная матрица
и функция
скалярного аргумента
. Требуется определить, что следует понимать под
, т. е. требуется распространить функцию
и на матричные значения аргумента.
Решение этой задачи нам известно для простейшего случая, когда
— многочлен относительно
. В этом случае
. Исходя из этого частного случая, постараемся определить
в общем случае.
Обозначим через
(1)
минимальный многочлен матрицы
(здесь
- все различные характеристические числа матрицы
). Степень этого многочлена
.
Пусть два многочлена
и
таковы, что
. (2)
Тогда разность
, будучи аннулирующим многочленом для матрицы
, делится на
без остатка, что запишем так:
. (3)
Отсюда в силу (1)
,
,
т. е.
. (4)
чисел
(5)
будем условно называть значениями функции
на спектре матрицы
и совокупность этих значений символически обозначать через
. Если для функции
существуют (т. е. имеют смысл) значения (5), то мы будем говорить, что функция
определена на спектре матрицы
.
Равенства (4) показывают, что многочлены
и
имеют одни и те же значения на спектре матрицы
. В символической записи
.
Рассуждения наши обратимы: из (4) вытекают (3) и, следовательно, (2).
Таким образом, если задана матрица
, то значения многочлена
на спектре матрицы
вполне определяют матрицу
, т. е. все многочлены
, принимающие одни и те же значения на спектре матрицы
, имеют одно и то же матричное значение
.
Мы потребуем, чтобы определение
в общем случае подчинялось такому же принципу: значения функции
на спектре матрицы
должны полностью определять
, т. е. все функции
, имеющие одни и те же значения на спектре матрицы
, должны иметь одно и то же матричное значение
.
Но тогда, очевидно, для определения
в общем случае достаточно подыскать такой многочлен
, который принимал бы те же значения на спектре матрицы
, что и
, и положить:
.
Таким образом, приходим к следующему определению:
Определение 1'. Если функция
определена на спектре матрицы
, то
,
где
– любой многочлен, принимающий на спектре матрицы
те же значения, что и
:
.
Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и
, имеется один и только один многочлен
степени
. Этот многочлен
однозначно определяется интерполяционными условиями:
,
, …,
. (6)
Многочлен
называют интерполяционным многочленом Лагранжа–Сильвестра для функции
на спектре матрицы
. Определение 1 можно еще сформулировать так:
Определение 1'. Пусть
– функция, определенная на спектре матрицы
, а
– соответствующий интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра. Тогда
.
Замечание. Если минимальный многочлен
матрицы
не имеет кратных корней [в равенстве (1)
;
], то для того, чтобы
имело смысл, достаточно, чтобы функция
была определена в характеристических точках
. Если же
имеет кратные корни, то в некоторых характеристических точках должны быть определены и производные от
до известного порядка [см. (6)].
Пример 1. Рассмотрим матрицу
.
Для нее минимальным многочленом будет
. Поэтому значениями
на спектре
будут числа
, и многочлен
будет иметь вид
.
Таким образом,
.
Пример 2. Рассмотрим матрицу
.
Заметом, что
и, следовательно,
. Минимальным многочленом для
, очевидно, будет
. Интерполяционный многочлен
для функции
определится равенством
.
Поэтому
.
Отметим три свойства функции от матрицы.
1. Если
– характеристические числа матрицы
-го порядка
, то
– полная система характеристических чисел матрицы
.
В частном случае, когда
– многочлен, это предложение было доказано на стр. 94. Доказательство для общего случая сводится к этому частному случаю, поскольку (в силу определения 1')
и
, где
– интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции
.
2. Если две матрицы
и
подобны и матрица
преобразует
в
:
,
то матрицы
и
подобны и та же матрица
преобразует
в 
.
Действительно, две подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены и, следовательно, функция
принимает одни и те же значения как на спектре матрицы
, так и на спектре матрицы
. Поэтому существует интерполяционный многочлен
такой, что
,
. Но тогда из равенства
следует:
.
3. Если
– квазидиагональная матрица
,
то
.
Обозначим через
интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для функции
на спектре матрицы
. Тогда, как легко видеть,
. (7)
С другой стороны, минимальный многочлен
для
является аннулирующим многочленом для каждой из матриц
. Поэтому из равенства

следует:
.
Поэтому
,
и равенство (7) можно записать так:
. (8)
Пример 1. Если матрица простой структуры
,
то
.
имеет смысл, если функция
определена в точках
.
Пример 2. Матрица
имеет следующий квазидиагональный вид:
.
В недиагональных блоках все элементы равны нулю. Согласно формуле (8) (см. также пример на стр. 105)
.
Здесь, как и в матрице
, все элементы в недиагональных блоках равны нулю.