§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра

1. Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение  не имеет кратных корней. Корни этого уравнения – характеристические числа матрицы  – обозначим через . Тогда

,

и условия (6) записываются так:

 .

В этом случае  является обычным интерполяционным многочленом Лагранжа для функции  в точках :

.

Согласно определению 1'

.

2. Допустим теперь, что характеристический многочлен имеет кратные корни, но минимальный многочлен, являющийся делителем характеристического, имеет только простые корни:

.

В этом случае (как и в предыдущем) все показатели  в (1) равны единице, и равенства (6) принимают вид

 .

 снова является обычным интерполяционным многочленом Лагранжа и

.

3. Рассмотрим общий случай:

    .

Представим правильно-дробную функцию  в виде суммы простых дробей:

,                    (9)

где   – некоторые числа.

Для определения числителей простых дробей  умножим обе части этого равенства на  и обозначим через  многочлен .

Получим:

      ,                       (10)

где  – рациональная функция, регулярная при .

Отсюда

              (11)

Формулы (11) показывают, что числители  правой части равенства (9) выражаются через значения многочлена  на спектре матрицы , а эти значения нам известны: они равны соответствующим значениям функции  и ее производных. Поэтому

,    .                       (12)

Формулы (12) можно еще сокращенно записать так:

   .                       (13)

После того как все  найдены, мы определяем  из следующей формулы, которая получается умножением обеих частей равенства (9) на :

.                 (14)

В этой формуле выражение в квадратных скобках, стоящее в качестве множителя перед , в силу (13) равно сумме первых  членов разложения Тейлора по степеням  для функции .

Пример.

    .

Тогда

.

Отсюда

и, следовательно,

.

 найдем из следующих формул:

Примечание 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра может быть получен предельным переходом из интерполяционного многочлена Лагранжа.

Пусть

    .

Обозначим через  интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для  точек

.

Тогда нетрудно показать, что искомый многочлен Лагранжа–Сильвестра определяется формулой

.

Примечание 2. Пусть  – вещественная матрица, т. е. матрица с вещественными элементами. Тогда минимальный многочлен  имеет вещественные коэффициенты и его корни, т. е. характеристические числа , либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены, причем, если , то соответствующие кратности равны: . Условимся говорить, что функция  вещественна на спектре матрицы , если для вещественного  все ее значения на спектре  вещественны, а для двух комплексно сопряженных характеристических чисел  и  соответствующие значения на спектре комплексно сопряжены: . В этом случае  – вещественная матрица. Действительно, в данном случае согласно формулам (12)  – вещественные числа и ; при этом для вещественного  многочлен  имеет вещественные коэффициенты, а коэффициенты многочленов  и  (при ) – комплексно сопряжены. Поэтому в силу формулы (14) интерполяционный многочлен  имеет вещественные коэффициенты. Но тогда , а значит и ,– вещественная матрица.