§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра
1. Рассмотрим сначала тот случай, когда характеристическое уравнение
не имеет кратных корней. Корни этого уравнения – характеристические числа матрицы
– обозначим через
. Тогда
,
и условия (6) записываются так:
.
В этом случае
является обычным интерполяционным многочленом Лагранжа для функции
в точках
:
.
Согласно определению 1'
.
2. Допустим теперь, что характеристический многочлен имеет кратные корни, но минимальный многочлен, являющийся делителем характеристического, имеет только простые корни:
.
В этом случае (как и в предыдущем) все показатели
в (1) равны единице, и равенства (6) принимают вид
.
снова является обычным интерполяционным многочленом Лагранжа и
.
3. Рассмотрим общий случай:
.
Представим правильно-дробную функцию
в виде суммы простых дробей:
, (9)
где
– некоторые числа.
Для определения числителей простых дробей
умножим обе части этого равенства на
и обозначим через
многочлен
.
Получим:
, (10)
где
– рациональная функция, регулярная при
.
Отсюда
(11)
Формулы (11) показывают, что числители
правой части равенства (9) выражаются через значения многочлена
на спектре матрицы
, а эти значения нам известны: они равны соответствующим значениям функции
и ее производных. Поэтому
,
. (12)
Формулы (12) можно еще сокращенно записать так:
. (13)
После того как все
найдены, мы определяем
из следующей формулы, которая получается умножением обеих частей равенства (9) на
:
. (14)
В этой формуле выражение в квадратных скобках, стоящее в качестве множителя перед
, в силу (13) равно сумме первых
членов разложения Тейлора по степеням
для функции
.
Пример.
.
Тогда
.
Отсюда

и, следовательно,
.
найдем из следующих формул:

Примечание 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра может быть получен предельным переходом из интерполяционного многочлена Лагранжа.
Пусть
.
Обозначим через
интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для
точек
.
Тогда нетрудно показать, что искомый многочлен Лагранжа–Сильвестра определяется формулой
.
Примечание 2. Пусть
– вещественная матрица, т. е. матрица с вещественными элементами. Тогда минимальный многочлен
имеет вещественные коэффициенты и его корни, т. е. характеристические числа
, либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены, причем, если
, то соответствующие кратности равны:
. Условимся говорить, что функция
вещественна на спектре матрицы
, если для вещественного
все ее значения на спектре
вещественны, а для двух комплексно сопряженных характеристических чисел
и
соответствующие значения на спектре комплексно сопряжены:
. В этом случае
– вещественная матрица. Действительно, в данном случае согласно формулам (12)
– вещественные числа и
; при этом для вещественного
многочлен
имеет вещественные коэффициенты, а коэффициенты многочленов
и
(при
) – комплексно сопряжены. Поэтому в силу формулы (14) интерполяционный многочлен
имеет вещественные коэффициенты. Но тогда
, а значит и
,– вещественная матрица.