§ 4. Представление функций от матриц рядами

Пусть дана матрица  с минимальным многочленом  . Пусть, далее, функция  и последовательность функций  определены на спектре матрицы .

Мы будем говорить, что последовательность функций  при  стремится к некоторому пределу па спектре матрицы , если существуют пределы

, , …,     .

Мы будем говорить, что последовательность функций  стремится при  к функции  на спектре матрицы , и будем писать:

,

если

, , …,           .

Основная формула

выражает  через значения  на спектре матрицы . Если рассматривать матрицу как вектор в пространстве  измерений , то из основной формулы в силу линейной независимости матриц  следует, что все  (при заданном ) образуют -мерное подпространство в  с базисом  . В этом базисе «вектор»  имеет своими координатами  значений функции  на спектре матрицы .

Эти соображения делают совершенно прозрачной следующую теорему:

Теорема 1. Для того чтобы последовательность матриц  при  стремилась к некоторому пределу, необходимо и достаточно, чтобы последовательность  при  на спектре матрицы  стремилась к пределу, т. е. пределы

,

всегда существуют одновременно. При этом равенство

                      (27)

влечет за собой равенство

               (28)

и наоборот.

Доказательство 1. Если значения  на спектре матрицы  при  стремится к предельным значениям, то из формулы

                 (29)

следует существование предела . На основании этой же формулы и формулы (16) из (27) вытекает (28).

2. Обратно, пусть существует . Так как  составляющих матриц  линейно независимы, то мы можем из (29) выразить (в виде линейных форм)  значений  на спектре матрицы  через  элементов матрицы . Отсюда следует существование предела , и равенство (27) имеет место при наличии равенства (28).

Согласно установленной теореме, если последовательность многочленов   стремится к функции  на спектре матрицы , то

.

Эта формула подчеркивает естественность и общность данного нами определения .  всегда получается предельным переходом из  при , если только последовательность многочленов  сходится к  на спектре матрицы . Последнее условие является необходимым для существования предела  при .

Условимся говорить, что ряд  сходится на спектре матрицы  к функции , и будем писать:

,                       (30)

если все фигурирующие здесь функции определены на спектре матрицы  и имеют место равенства

, , …,      ,

причем в правых частях этих равенств стоят сходящиеся ряды. Другими словами, если положить

     ,

то равенство (30) равносильно равенству

.                     (31)

Очевидно, что доказанной теореме можно дать следующую эквивалентную формулировку:

Теорема 1'. Для того чтобы ряд  сходился к некоторой матрице, необходимо и достаточно, чтобы ряд  сходился на спектре матрицы . При этом из равенства

следует равенство

и наоборот.

Пусть дан степенной ряд с кругом сходимости  и суммой :

       .            (32)

Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости, то ряд (32) сходится на спектре любой матрицы, характеристические числа которой попадают внутрь круга сходимости.

Таким образом, имеет место

Теорема 2. Если функция  разлагается в степенной ряд в круге ,

,                  (33)

то это разложение сохраняет силу, если скалярный аргумент  заменить любой матрицей , характеристические числа которой лежат внутри круга сходимости.

Примечание. В этой теореме можно допустить, чтобы характеристическое число  матрицы  попало на периферию круга сходимости, но при этом нужно дополнительно потребовать, чтобы  раз почленно продифференцированный ряд (33) в точке  сходился. Отсюда, как известно, уже следует сходимость  раз продифференцированного ряда (33) в точке  к  для .

Из доказанной теоремы вытекают, например, следующие разложения:

 

(здесь под  мы понимаем так называемое главное значение многозначной функции , т. е. ветвь, для которой ).

Формула (22) на стр. 112 позволяет легко распространить интегральную формулу Коши для аналитических функций на функции от матриц.

Рассмотрим в плоскости комплексного переменного  правильную область, ограниченную замкнутым контуром  и содержащую внутри себя характеристические числа  матрицы . Возьмем произвольную аналитическую функцию , регулярную в этой области (включая границу ). Тогда по известным формулам Коши

, , …, ,   .

Умножая обе части матричного равенства (22) на  и интегрируя вдоль , получим:

,

что, согласно основной формуле (16), и дает:

.              (34)

Эти же рассуждения показывают, что интеграл, стоящий в правой части равенства (34), равен нулю (при ), если все характеристические числа матрицы  расположены вне контура , и равен

,         ,

если характеристические числа  расположены внутри, а  – вне .

Формулу (34) можно принять за определение аналитической функции от матрицы.