§ 5. Некоторые свойства функций от матриц

В этом параграфе мы докажем несколько предложений, позволяющих распространить тождества, связывающие функции от скалярного переменного на матричные значения аргумента.

1. Пусть  – многочлен относительно ;  – функции от , определенные на спектре матрицы , и

.            (35)

Тогда из

следует

.

Действительно, обозначим через  интерполяционные многочлены Лагранжа–Сильвестра для  и положим:

.

Тогда из (35) вытекает:

.

Отсюда следует, что

,

что и требовалось доказать.

Согласно предложению 1 из тождества

следует для любой матрицы

(в данном случае: , , ).

Точно так же для любой матрицы

,

т. е.

.

Далее, для любой матрицы

.

Пусть дана неособенная матрица  . Обозначим через  однозначную ветвь многозначной функции , определенную в области, не содержащей нуля и содержащей все характеристические числа матрицы . Тогда имеет смысл . При этом из  будет следовать:

.

Пусть , и  – неособенная матрица. Тогда функция  определена на спектре матрицы , и потому в равенстве

можно заменить  на :

,

т. е.

.

Обозначая через  интерполяционный многочлен для функции , мы сможем обратную матрицу  представить в виде многочлена от данной:

.

Рассмотрим рациональную функцию , где  и  – взаимно простые многочлены относительно . Эта функция определена на спектре матрицы  в том и только в том случае, если характеристические числа матрицы  не являются корнями многочлена , т. е. если . При выполнении этого условия мы можем в тождестве

заменить  на :

.

Отсюда

.

2. Если составная функция

определена на спектре матрицы , то

,

т. е. , где . При доказательстве этого предложения, как и ранее, будем предполагать, что

– минимальный многочлен матрицы . Тогда значения функции  па спектре матрицы  определяются по формулам

,                      (36)

где  . Многочлен

будет аннулирующим многочленом для матрицы . Действительно, каждое число  является корнем по крайней мере кратности  функции

.

Поэтому

и согласно 1

.

Поэтому среди значений

           ,               (37)

содержатся все значения функции  на спектре матрицы . Исходя из значений (37), построим интерполяционный многочлен  для функции . Тогда, с одной стороны,

.

С другой стороны, как показывают формулы (36), функции  и  будут равны на спектре матрицы . Поэтому, применяя к разности  предложение 1, получим:

;

но тогда

,

что и требовалось доказать.

Комбинируя предложения 1 и 2, приходим к следующему обобщению предложения 1.

3. Пусть

,

где функции  определены на спектре матрицы , а функция  есть результат последовательного применения к величинам  операций сложения, умножения, умножения на число и замены величины произвольной функцией от нее. Тогда из

следует

.

Так, например, пусть  – неособенная матрица . Обозначим через  однозначную ветвь многозначной функции , определенную в некоторой области, не содержащей числа 0 и содержащей все характеристические числа матрицы . Тогда в скалярном тождестве

можно заменить скалярный аргумент  на матрицу :

,

т.е. . Другими словами, матрица  удовлетворяет матричному уравнению , т. е. является «натуральным логарифмом» матрицы .

Беря в качестве  другие однозначные ветви многозначной функции , мы получим другие логарифмы матрицы . Пусть  – вещественная неособенная матрица. В главе VIII, § 8 будут установлены необходимые и достаточные условия для того, чтобы вещественная матрица имела вещественный натуральный логарифм. Здесь же мы рассмотрим два частных случая.

1) Матрица  не имеет вещественных отрицательных характеристических чисел. Обозначим через  однозначную ветвь функции  в комплексной -плоскости с разрезом вдоль отрицательной действительной оси, определяемую равенством

,                                    .

Функция  принимает вещественные значения при положительных вещественных  и комплексно сопряженные значения при комплексно сопряженных значениях . Поэтому функция  вещественна на спектре матрицы  (см. стр. 110) и  – вещественная матрица.

2) , где  – вещественная матрица. Наряду с функцией  введем в рассмотрение две однозначные ветви функции  в комплексной -плоскости с разрезом вдоль положительной действительной оси:

.

Пусть матрица  имеет различные характеристические числа  . Выберем круговые окрестности  точек   так, чтобы они не пересекались и не содержали начало . В области, составленной из этих окрестностей, определим функцию  равенством

, если  и ,

, если  и , ,

, если  и , .

Тогда функция  представляет собой однозначную ветвь функции , определенную и вещественную на спектре матрицы . Поэтому  – вещественная матрица и

,

т. е. матрица  является вещественным натуральным логарифмом матрицы .

Примечание 1. Если  – линейный оператор в -мерном пространстве , то  определяется совершенно так же, как и :

,

где  – интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра для  на спектре оператора  (спектр оператора  определяется минимальным аннулирующим многочленом  оператора ).

Согласно этому определению, если оператору  отвечает матрица  в некотором базисе пространства, то оператору  в том же базисе отвечает матрица . Все утверждения и формулировки этой главы, в которых фигурирует матрица , остаются в силе и после замены матрицы  оператором .

Примечание 2. Можно определить функцию от матрицы , исходя из характеристического многочлена

,

заменяя им минимальный многочлен . При этом полагают , где  – интерполяционный многочлен степени  по  для функции . Формулы (16), (22) и (24) заменяются формулами

,                    (16')

,                       (22')

,                (24')

где

   .

Однако в формуле (16') значения  входят лишь фиктивно, поскольку из сопоставления (22) с (22') следует:

    .