Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

1. Рассмотрим сначала систему однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка:

                 (38)

здесь  – независимое переменное,  – неизвестные функции переменной ,   – комплексные числа.

Введем в рассмотрение квадратную матрицу , составленную из коэффициентов, и столбцевую матрицу . Тогда система уравнений (38) может быть записана в виде одного матричного дифференциального уравнения

.                    (39)

Здесь и в дальнейшем под производной от матрицы мы понимаем матрицу, получающуюся из данной путем замены всех элементов их производными. Поэтому  – столбцевая матрица с элементами, .

Будем искать решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

,

или в сокращенной записи:

.                   (40)

Разложим искомый столбец  в ряд Маклорена по степеням :

.             (41)

Но из (39) почленным дифференцированием находим:

, , ….                       (42)

Подставляя в (39) и (42) значение , получим:

, , ….

Теперь ряд (41) запишется так:

.              (43)

Непосредственной подстановкой в (39) убеждаемся в том, что (43) есть решение дифференциального уравнения (39). Полагая в (43) , найдем: .

Таким образом, формула (43) дает нам решение данной системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям (40).

Положим в (16) . Тогда

.                      (44)

Теперь решение (43) может быть записано в следующей форме:

                      (45)

здесь  – произвольные постоянные, равные начальным значениям неизвестных функций .

Таким образом, интегрирование данной системы дифференциальных уравнений сведено к вычислению элементов матрицы .

Если в качестве начального значения аргумента взять значение , то формула (43) заменится формулой

.             (46)

Пример.

Матрица коэффициентов:

.

Составим характеристический определитель

.

Наибольший общий делитель миноров второго порядка этого определителя . Поэтому

.

Основная формула:

.

Возьмем вместо  последовательно . Получим:

Определенные отсюда  и  подставляем в основную формулу:

.

Заменяя здесь  на , будем иметь:

.

Таким образом,

,

где

, , .

2. Рассмотрим теперь систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

,               (47)

где   – непрерывные функции в интервале . Обозначая через  столбцевую матрицу с элементами  и снова полагая , мы систему (47) запишем так:

.                    (48)

Введем вместо  новый столбец неизвестных функций , связанный с  соотношением

.                    (49)

Дифференцируя почленно (49) и подставляя полученное выражение для  в (48), найдем:

.                       (50)

Отсюда

                   (51)

и потому согласно (49)

;                    (52)

здесь  – столбец с произвольными постоянными элементами.

Давая в (52) аргументу  значение , найдем:

,

и, следовательно, решение (52) может быть записано так:

.                  (53)

Полагая , мы решение (53) можем записать в развернутом виде так:

  (54)

3. Рассмотрим в качестве примера движение весомой материальной точки в пустоте вблизи поверхности Земли с учетом движения Земли. В этом случае, как известно, ускорение точки относительно Земли определяется постоянной силой веса  и инерционной кориолисовой силой –  ( – скорость точки относительно Земли,  – постоянная угловая скорость Земли). Поэтому дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

,                    (55)

Определим лилейный оператор  в трехмерном евклидовом пространстве равенством

             (56)

и напишем вместо (55):

.             (57)

Сопоставляя (57) с (48), легко найдем по формуле (53):

.

Интегрируя почленно, определим радиус-вектор движущейся точки:

,                    (58)

где

 и .

Подставляя вместо  сумму ряда

и заменяя оператор  его выражением из (56), будем иметь:

.

Считая угловую скорость  малой величиной (для Земли ) и отбрасывая члены, содержащие вторую и высшие степени , мы для дополнительного отклонении точки, вызванного вращением Земли, получим приближенную формулу

.

Возвращаясь к точному решению (58), вычислим . Предварительно установим, что минимальный многочлен оператора  имеет вид

.

Действительно, из (56) находим:

Отсюда и из (56) следует, что операторы  линейно независимы, а

.

Минимальный многочлен  имеет простые корни . Интерполяционный многочлен Лагранжа для  имеет вид

.

Тогда

.

Подставляя это выражение для  в (58) и заменяя оператор  его выражением из (56), найдем:

                        (59)

Рассмотрим частный случай . Тогда, раскрывая тройное векторное произведение, получим:

,

где  – географическая широта в данном месте Земли. Член

представляет собой отклонение, направленное перпендикулярно к плоскости меридиана на восток, а последнее слагаемое в правой части последней формулы дает отклонение, лежащее в плоскости меридиана и направленное от земной оси (перпендикулярно к ней).

4. Пусть теперь дана следующая система линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

,                    (60)

где   – постоянные коэффициенты. Вводя снова столбец  и квадратную матрицу , мы перепишем систему (60) в матричном виде

.

Рассмотрим сначала случай, когда . Если , т. е.  и  – скаляры и , общее решение уравнения (60) может быть записано в виде

,                   (61)

где  и .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что (61) представляет собой решение уравнения (60) при любом , когда  – столбец, а  – неособенная квадратная матрица. При этом мы опираемся на формулы

                       (62)

Формула (61) охватывает все решения системы (60) или (60'), поскольку начальные значения  и  могут быть выбраны произвольно.

В формулах (62) правые части имеют смысл и при . Поэтому (61) представляет собой общее решение данной системы дифференциальных уравнений и в случае, когда , если только под функциями  и , входящими в состав этого выражения, понимать правые части формул (62).

Предоставляем читателю проверить, что общее решение неоднородной системы

,                  (63)

удовлетворяющее начальным условиям  и , может быть записано в виде

                      (64)

Если в качестве начального момента времени берется , то в формулах (61) и (64) следует заменить  и  на  и , а  на .

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>