§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

1. Рассмотрим сначала систему однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка:

(38)

здесь – независимое переменное, – неизвестные функции переменной , – комплексные числа.

Введем в рассмотрение квадратную матрицу , составленную из коэффициентов, и столбцевую матрицу . Тогда система уравнений (38) может быть записана в виде одного матричного дифференциального уравнения

. (39)

Здесь и в дальнейшем под производной от матрицы мы понимаем матрицу, получающуюся из данной путем замены всех элементов их производными. Поэтому – столбцевая матрица с элементами, .

Будем искать решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

или в сокращенной записи:

. (40)

Разложим искомый столбец в ряд Маклорена по степеням :

. (41)

Но из (39) почленным дифференцированием находим:

, , …. (42)

Подставляя в (39) и (42) значение , получим:

, , ….

Теперь ряд (41) запишется так:

. (43)

Непосредственной подстановкой в (39) убеждаемся в том, что (43) есть решение дифференциального уравнения (39). Полагая в (43) , найдем: .

Таким образом, формула (43) дает нам решение данной системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям (40).

Положим в (16) . Тогда

. (44)

Теперь решение (43) может быть записано в следующей форме:

(45)

здесь – произвольные постоянные, равные начальным значениям неизвестных функций .

Таким образом, интегрирование данной системы дифференциальных уравнений сведено к вычислению элементов матрицы .

Если в качестве начального значения аргумента взять значение , то формула (43) заменится формулой

. (46)

Пример.

Матрица коэффициентов:

Составим характеристический определитель

Наибольший общий делитель миноров второго порядка этого определителя . Поэтому

Основная формула:

Возьмем вместо последовательно . Получим:

Определенные отсюда и подставляем в основную формулу:

Заменяя здесь на , будем иметь:

Таким образом,

где

, , .

2. Рассмотрим теперь систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

, (47)

где – непрерывные функции в интервале . Обозначая через столбцевую матрицу с элементами и снова полагая , мы систему (47) запишем так:

. (48)

Введем вместо новый столбец неизвестных функций , связанный с соотношением

. (49)

Дифференцируя почленно (49) и подставляя полученное выражение для в (48), найдем:

. (50)

Отсюда

(51)

и потому согласно (49)

; (52)

здесь – столбец с произвольными постоянными элементами.

Давая в (52) аргументу значение , найдем:

и, следовательно, решение (52) может быть записано так:

. (53)

Полагая , мы решение (53) можем записать в развернутом виде так:

(54)

3. Рассмотрим в качестве примера движение весомой материальной точки в пустоте вблизи поверхности Земли с учетом движения Земли. В этом случае, как известно, ускорение точки относительно Земли определяется постоянной силой веса и инерционной кориолисовой силой – ( – скорость точки относительно Земли, – постоянная угловая скорость Земли). Поэтому дифференциальное уравнение движения точки имеет вид

, (55)

Определим лилейный оператор в трехмерном евклидовом пространстве равенством

(56)

и напишем вместо (55):

. (57)

Сопоставляя (57) с (48), легко найдем по формуле (53):

Интегрируя почленно, определим радиус-вектор движущейся точки:

, (58)

где

и .

Подставляя вместо сумму ряда

и заменяя оператор его выражением из (56), будем иметь:

Считая угловую скорость малой величиной (для Земли ) и отбрасывая члены, содержащие вторую и высшие степени , мы для дополнительного отклонении точки, вызванного вращением Земли, получим приближенную формулу

Возвращаясь к точному решению (58), вычислим . Предварительно установим, что минимальный многочлен оператора имеет вид

Действительно, из (56) находим:

Отсюда и из (56) следует, что операторы линейно независимы, а

Минимальный многочлен имеет простые корни . Интерполяционный многочлен Лагранжа для имеет вид

Тогда

Подставляя это выражение для в (58) и заменяя оператор его выражением из (56), найдем:

(59)

Рассмотрим частный случай . Тогда, раскрывая тройное векторное произведение, получим:

где – географическая широта в данном месте Земли. Член

представляет собой отклонение, направленное перпендикулярно к плоскости меридиана на восток, а последнее слагаемое в правой части последней формулы дает отклонение, лежащее в плоскости меридиана и направленное от земной оси (перпендикулярно к ней).

4. Пусть теперь дана следующая система линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

, (60)

где – постоянные коэффициенты. Вводя снова столбец и квадратную матрицу , мы перепишем систему (60) в матричном виде

Рассмотрим сначала случай, когда . Если , т. е. и – скаляры и , общее решение уравнения (60) может быть записано в виде

, (61)

где и .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что (61) представляет собой решение уравнения (60) при любом , когда – столбец, а – неособенная квадратная матрица. При этом мы опираемся на формулы

(62)

Формула (61) охватывает все решения системы (60) или (60'), поскольку начальные значения и могут быть выбраны произвольно.

В формулах (62) правые части имеют смысл и при . Поэтому (61) представляет собой общее решение данной системы дифференциальных уравнений и в случае, когда , если только под функциями и , входящими в состав этого выражения, понимать правые части формул (62).

Предоставляем читателю проверить, что общее решение неоднородной системы

, (63)

удовлетворяющее начальным условиям и , может быть записано в виде

(64)

Если в качестве начального момента времени берется , то в формулах (61) и (64) следует заменить и на и , а на .