§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы

Пусть  – параметры, характеризующие отклонение «возмущенного» движения данной механической системы от исследуемого движения, и пусть эти параметры удовлетворяют системе дифференциальных уравнений первого порядка:

         ;            (65)

здесь независимое переменное  – время, правые части  – непрерывные функции в некоторой области значений  (содержащей точку ) при всех  ( – начальный момент времени).

Введем определение устойчивости движения по Ляпунову.

Исследуемое движение называется устойчивым, если для любого числа  можно указать число  такое, что при любых начальных (при ) значениях параметров , меньших по модулю числа , параметры  во все время движения  по модулю меньше , т. е. для любого  можно указать такое , что из

                       (66)

следует:

       .                      (67)

Если при этом дополнительно при некотором  всегда  , коль скоро  , то исследуемое движение называется асимптотически устойчивым.

Рассмотрим теперь линейную систему, т. е. тот частный случай, когда система (65) является системой линейных однородных дифференциальных уравнений

,                (68)

где  – непрерывные функции при  .

В матричной записи система (68) запишется гак:

;               (68)

здесь  – столбцевая матрица с элементами , а  – матрица коэффициентов.

Обозначим через

                     (69)

 линейно независимых решений системы (68). Матрицу , столбцами которой являются эти решения, называют интегральной матрицей системы (68).

Произвольное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений получается как линейная комбинация с постоянными коэффициентами из  линейно независимых решений:

          ,

или в матричной записи:

,                 (70)

где  – столбцевая матрица, элементами которой являются произвольные постоянные .

Выберем теперь специальную интегральную матрицу, для которой

;                 (71)

другими словами, при выборе  линейно независимых решений (69) будем исходить из следующих специальных начальных условий:

      .

Тогда, полагая в формуле (70) , из (71) найдем:

,

и потому формула (70) примет вид

,                (72)

или в развернутом виде

        .            (72')

Рассмотрим три случая:

1.  – ограниченная матрица в интервале , т. е. существует такое число , что

    .

В этом случае из (72') следует:

.

Условие устойчивости выполняется. (Достаточно в (66), (67) взять .) Движение, характеризуемое нулевым решением , устойчиво.

2. . В этом случае матрица  ограничена в интервале , и потому, как уже было выяснено, движение устойчиво. Кроме того, из (72) следует, что

при любом . Движение асимптотически устойчиво.

3.  – неограниченная матрица в интервале . Это означает, что по крайней мере одна из функций , например , не ограничена в интервале . Возьмем начальные условия . Тогда

Каким бы малым по модулю ни было , функция  будет не ограничена. Условие (67) не будет выполняться ни при одном . Движение неустойчиво.

Рассмотрим теперь частный случай, когда коэффициенты в системе (68) – постоянные числа:

.                  (73)

В этом случае (см. § 5)

.             (74)

Сопоставляя (74) с (72), находим, что в данном случае

.                      (75)

Обозначим через

минимальный многочлен матрицы коэффициентов .

Для исследования интегральной матрицы (75) воспользуемся формулой (16) на стр. 111. В данном случае  ( рассматривается как параметр), . Формула (16) дает:

.                  (76)

Рассмотрим три случая:

1.  , причем для тех , для которых , соответствующее  (т. е. чисто мнимые характеристические числа являются простыми корнями минимального многочлена).

2.  .

3. При некотором  имеем  либо , но .

Из формулы (76) следует, что в случае 1 матрица  ограничена в интервале , в случае 2  при  и в случае 3 матрица  не ограничена в интервале .

Здесь особого рассмотрения требует лишь тот случай, когда в выражении (76) для  имеется несколько слагаемых максимального роста (при ), т.е. с максимальным  и (при данном ) с максимальным значением . Тогда выражение (76) можно представить в виде

,                    (77)

где  – различные вещественные числа, а  обозначает матрицу, стремящуюся к нулю при . Из этого представления вытекает, что матрица  не ограничена при , поскольку матрица  не может стремиться к нулю при . В последнем мы убедимся, если докажем, что функция

,

где  – комплексные числа, а  – вещественные и различные между собой числа, может стремиться к нулю при  только в случае . Но, действительно,

.                (78')

Перемножая почленно равенства (78) и (78') и интегрируя по  в пределах от 0 до , получим:

.                       (79)

Но из  вытекает, что и

.

Поэтому из равенства (79) находим, что , т. е. .

Поэтому в случае 1 движение  устойчиво, в случае 2 – асимптотически устойчиво и в случае 3 – неустойчиво.

Результаты исследования могут быть сформулированы в виде следующей теоремы:

Теорема 3. Нулевое решение линейной системы (68) при  является устойчивым по Ляпунову, если 1) все характеристические числа матрицы  имеют отрицательные или нулевые вещественные части, 2) всё характеристические числа с нулевыми вещественными частями, т. е. чисто мнимые характеристические числа (если таковые имеются), являются простыми корнями минимального многочлена матрицы , и неустойчивым, если хотя бы одно из условий 1), 2) не выполняется.

Нулевое решение линейной системы (68) является асимптотически устойчивым в том и только в том случае, когда все характеристические числа матрицы  имеют отрицательные вещественные части.

Приведенные выше соображения позволяют высказать суждение о характере интегральной матрицы  в общем случае при произвольных характеристических числах постоянной матрицы .

Теорема 4. Интегральная матрица  линейной системы (58) при  всегда представима в виде

,                   (80)

где 1) , 2)  либо , либо является ограниченной матрицей в интервале , не имеющей предела при , 3) , либо , является неограниченной матрицей в интервале .

Доказательство. Разобьем в правой части равенства (76) все  слагаемых на три группы. Обозначим через  сумму всех слагаемых, содержащих множитель  с . Через  обозначим сумму слагаемых, у которых либо , либо  при наличии множителя  при . Через  обозначим сумму всех остальных слагаемых. Приведенные ранее соображения показывают, что , а функция  не ограничена, если только она не равна тождественно нулю. Функция же  ограничена. Покажем, что из существования предела  следует, что . Действительно, разность  может быть представлена в виде суммы  из равенства (77). Относительно же суммы такого вида выше было показано, что она может иметь предел 0 при  лишь тогда, когда она тождественно равна нулю.

Теорема 4 доказана.