ГЛАВА VI. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕННЫХ МАТРИЦ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ

Первые три параграфа настоящей главы посвящены учению об эквивалентности многочленных матриц. На основе этого в последующих трех параграфах строится аналитическая теория элементарных делителей, т. е. теория приведения постоянной (немногочленнов) квадратной матрицы  к нормальной форме  . В последних двух параграфах главы даны два метода построения преобразующей матрицы .

§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы

Определение 1. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица , элементы которой суть многочлены от :

         ;

здесь  – наибольшая из степеней многочленов .

Полагая

      ,

мы можем представить многочленную матрицу  в виде матричного многочлена относительно , т. е. в виде многочлена с матричными коэффициентами:

.

Введем в рассмотрение следующие элементарные операции над многочленной матрицей :

1. Умножение какой-либо, например -й, строки на число .

2. Прибавление к какой-либо, например -й, строке другой, например -й, строки, предварительно умноженной на произвольный многочлен .

3. Перестановка местами любых двух строк, например -й и -й строк.

Предлагаем читателю проверить, что операции 1, 2, 3 равносильны умножению многочленной матрицы  слева соответственно на следующие квадратные матрицы порядка :

                     (1)

т. е. в результате применения операций 1, 2, 3 матрица  преобразуется соответственно в матрицы , , . Поэтому операции типа 1, 2, 3 называются левыми элементарными операциями.

Совершенно аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей (эти операции производятся не над строками, а над столбцами многочленной матрицы) и соответствующие им матрицы (порядка ):

В результате применения правой элементарной операции матрица  умножается справа на соответствующую матрицу .

Матрицы типа  (или, что то же, типа ) мы будем называть элементарными матрицами.

Определитель любой элементарной матрицы не зависит от  и отличен от нуля. Поэтому для каждой левой (правой) элементарной операции существует обратная операция, которая также является левой (соответственно правой) элементарной операцией.

Определение 2. Две многочленные матрицы  и  называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если одна из них получается из другой путем применения соответственно 1) левых элементарных операций, 2) правых элементарных операций, 3) левых и правых элементарных операций.

Пусть матрица  получается из  при помощи левых элементарных операций, соответствующих матрицам . Тогда

.                  (2).

Обозначая через  произведение , мы равенство (2) запишем в виде

,              (3)

где , как и каждая из матриц , имеет отличный от нуля постоянный определитель.

В следующем параграфе будет доказано, что каждая квадратная -матрица  с постоянным отличным от нуля определителем может быть представлена в виде произведения элементарных матриц. Поэтому равенство (3) эквивалентно равенству (2) и потому означает левую эквивалентность матриц  и .

В случае правой эквивалентности многочленных матриц  и  вместо равенства (3) будем иметь равенство

,              (3')

а в случае (двусторонней) эквивалентности – равенство

.                 (3")

Здесь опять  и  – матрицы с отличными от нуля и не зависящими от  определителями.

Таким образом, определение 2 можно заменить равносильным определением.

Определение 2'. Две прямоугольные -матрицы  и  называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если соответственно

1) , 2) , 3) ,

где  и  – многочленные квадратные матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями.

Все введенные выше понятия проиллюстрируем на следующем важном примере.

Рассмотрим систему  линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с  неизвестными функциями  аргумента  с постоянными коэффициентами:

                     (4)

здесь

– многочлен относительно  с постоянными коэффициентами,  – оператор дифференцирования.

Матрица операторных коэффициентов

                  

является многочленной матрицей или -матрицей.

Очевидно, что левая элементарная операция 1 над матрицей  означает почленное умножение -гo дифференциального уравнения системы на число . Левая элементарная операция 2 означает почленное прибавление к -му уравнению -го уравнения, предварительно подвергнутого дифференциальной операции . Левая элементарная операция 3 означает перестановку местами -го и -го уравнений.

Таким образом, если в системе уравнении (4) матрицу операторных коэффициентов  заменить левоэквивалентной ей матрицей , то мы получим новую систему уравнений. Поскольку, обратно, исходная система может быть получена из этой системы при помощи аналогичных операций, то обе системы уравнений равносильные.

Нетрудно проинтерпретировать на данном примере и правые элементарные операции. Первая из этих операций означает введение вместо одной из неизвестных функций  новой неизвестной функции ; вторая элементарная операция означает введение новой неизвестной функции  (вместо ); третья операция означает перемену местами в уравнениях членов, содержащих  и  (т. е. ).