Часть I. Основы теории

Глава I. Матрицы и действия над ними

§ 1. Матрицы. Основные обозначения

1. Пусть дано некоторое числовое поле .

Определение1. Прямоугольную таблицу чисел из поля

            (1)

будем называть матрицей. Если , то матрица то матрица называется квадратной,       а число , равное , — ее порядком. В общем же случае матрица называется прямоугольной (с размерами) или -матрицей. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Обозначения. При двухиндексном обозначении элементов первый индекс всегда указывает номер строки, а второй индекс — номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Наряду с обозначениями матрицы (1) будем употреблять и сокращенное обозначение:

.

Часто матрицу (1) будем обозначать также одной буквой, например матрица . Если  — квадратная матрица порядка , то будем писать: Определитель квадратной матрицы  будем обозначать так:  или .

Введем сокращенные обозначения для определителей, составленных из элементов данной матрицы:

                                   (2)

Определитель (3) называется минором -го порядка матрицы , если  и .

 -матрица  имеет  миноров -го порядка

     (2')

Миноры (2'), у которых , , , называются главными. В обозначениях (2) определитель квадратной матрицы  запишется так:

.

Наибольший из порядков отличных от нуля миноров, порождаемых матрицей, называется рангом матрицы. Если  — ранг прямоугольной матрицы  с размерами , то, очевидно,

Прямоугольную матрицу, состоящую из одного столбца

мы будем называть столбцевой и обозначать так: .

Прямоугольную матрицу, состоящую из одной строки

,

мы будем называть строчной и обозначать так: .

Квадратную матрицу, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю,

мы будем называть диагональной и обозначать так:   или

.

Введем еще специальные обозначения для строк и столбцов -матрицы . Будем обозначать -ю строку матрицы  через , а -й столбец — через :

                        (3)

Пусть  величин  выражаются линейно и однородно через  других величин :

            (4)

или, в сокращенной записи

                      (4')

Преобразование величин  в величины при помощи формул (4) называется линейным преобразованием. Коэффициенты этого преобразования образуют -матрицу (1). Задание линейного преобразования (4) однозначно определяет матрицу (1) и наоборот.

В следующем параграфе, исходя из свойств линейных преобразований (4), мы определим основные операции над прямоугольными матрицами.