§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц

Определим основные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число и умножение матриц.

1. Пусть величины выражаются через величины при помощи линейного преобразования

, (5)

а величины — через те же величины при помощи преобразования

. (6)

Тогда

. (7)

В соответствии с этим мы устанавливаем

Определение 2. Суммой двух прямоугольных матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данной матрицы:

если

Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц.

Пример

Согласно определению 2, складывать можно только прямоугольные матрицы одинаковых размеров.

В силу этого же определения матрица коэффициентов в преобразовании (7) есть сумма матриц коэффициентов в преобразованиях (5) и (6).

Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция обладает переместительным и сочетательным свойствами:

1° ,

2° .

Здесь , , — произвольные прямоугольные матрицы одинаковых размеров.

Операция сложения матриц естественным образом распространяется на случай любого числа слагаемых.

2. Умножим в преобразовании (5) величины на некоторое число из . Тогда

В соответствии с этим имеет место

Определение 3. Произведением матрицы на число из называется матрица элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы умножением на число :

если

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.

Пример

Легко видеть, что

1° ,

2° ,

3° .

Здесь , — прямоугольные матрицы одинаковых размеров, , — числа из поля .

Разность двух прямоугольных матриц одинаковых размеров определяется равенством

Если — квадратная матрица порядка , а — число из , то

3. Пусть величины выражаются через величины при помощи преобразования

(8)

а величины — через те же величины при помощи формул

. (9)

Тогда, подставляя эти выражения для в формулы (8), мы выразим через при помощи «составного» преобразования:

. (10)

В соответствии с этим имеет место

Определение 4. Произведением двух прямоугольных матриц

называется матрица

у которой элемент, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца, равен «произведению» -й строки первой матрицы на -й столбец второй матрицы :

(11)

Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц.

Пример

По определению 4 матрица коэффициентов в преобразовании (10) равна произведению матрицы коэффициентов в (8) на матрицу коэффициентов (9).

Заметим, что операция умножения двух прямоугольных матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности, умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя — квадратные матрицы одного и того же порядка. Обратим внимание читателя и на то, что даже в этом частном случае умножение матриц не обладает переместительным свойством. Так, например,

Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Пример. Матрицы

перестановочны между собой, так как

, .

Легко проверяется сочетательное свойство умножения матриц, а также распределительное свойство умножения относительно сложения:

1°

2° (12)

3°

Операция умножения матриц естественным образом распространяется на случай нескольких сомножителей.

4. Если воспользоваться произведением прямоугольных матриц, то линейное преобразование

(13)

можно записать одним матричным равенством

или в сокращенной записи:

, (13’)

Здесь , – столбцевые матрицы - прямоугольная матрица размером .

Равенства (13) выражают собой тот факт, что столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы с коэффициентами :

(13'')

Вернемся теперь к равенствам (11), которые эквивалентны одному матричному равенству

(14)

Эти равенства могут быть записаны в виде

(14')

или в виде

. (14'')

Таким образом, любой -й столбец матрицы-произведения является линейной комбинацией столбцов первого сомножителя, т. е. матрицы , причем коэффициенты этой линейной зависимости образуют -й столбец во втором сомножителе . Аналогично, любая -я строка в матрице является линейной комбинацией строк матрицы , а коэффициентами этой линейной зависимости являются элементы -й строки матрицы .

Остановимся еще на том частном случае, когда в произведении второй сомножитель является квадратной и притом диагональной матрицей . Тогда из формул (11) следует:

т.е.

Аналогично

Таким образом, при умножении прямоугольной матрицы справа (слева) на диагональную матрицу все столбцы (соответственно строки) матрицы помножаются на числа

5. Пусть квадратная матрица является произведением двух прямоугольных матриц и соответственно размеров и :

(15)

т. е.

(15’)

Установим важную формулу Бине-Коши, выражающую определитель через миноры матриц и :

(16)

или в специальных обозначениях:

(16’)

Согласно этой формуле определитель матрицы равен сумме произведений всевозможных миноров максимального (-го) порядка матрицы на соотвествтующие миноры того же порядка матрицы .

Вывод формулы Бине-Коши. На основании формулы (15’) определитель матрицы можно представить в виде

(16'')

Если , то среди чисел всегда найдутся равные между собой числа и, следовательно, каждое слагаемое в правой части равенства (16") будет равно нулю. Значит, в этом случае

Пусть теперь . Тогда в сумме, стоящей в правой части равенства (16"), будут равны нулю те слагаемые, у которых хотя бы два из индексов равны между собой. Все же остальные слагаемые этой суммы можно разбить на группы по слагаемых в каждой, объединяя в одну группу те слагаемые, которые отличаются друг от друга только порядком индексов (индексы в пределах каждой группы слагаемых имеют одну и ту же совокупность значений). Тогда в пределах одной такой группы сумма соответствующих слагаемых будет равна

Поэтому из (16") получаем (16').

Пример 1.

Поэтому формула (16) дает так называемое тождество Коши

Полагая в этом тождестве и , получим:

В случае когда и - вещественные числа, отсюда следует известное неравенство:

При этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда все числа пропорциональны соответствующим .

Пример 2.

Поэтому при

Рассмотрим частный случай, когда и — квадратные матрицы одного и того же порядка , и положим в (16') . Тогда приходим к известной теореме об умножении определителей:

или в других обозначениях:

(17)

Таким образом, определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей перемножаемых матриц.

6. Формула Бине—Коши дает возможность в самом общем случае выразить миноры произведения двух прямоугольных матриц через миноры сомножителей. Пусть

, ,

Рассмотрим произвольный минор матрицы :

Матрица, составленная из элементов этого минора, представляет собой произведение двух прямоугольных матриц

, .

Поэтому, применяя формулу Бине—Коши, получаем:

(18)

При формула (18) переходит в формулу (11). При формула (18) является естественным обобщением формулы (11).

Отметим еще одно следствие из формулы (18).

Ранг произведения двух прямоугольных матриц не превосходит ранга любого из сомножителей.

Если и — ранги матриц , , , то

7. Если — решение матричного уравнения (размеры матриц ,и соответственно , и ), то . Покажем, что среди решений матричного уравнения существует решение минимального ранга, для которого .

Действительно, пусть . Тогда среди столбцов матрицы имеется линейно независимых. Пусть для конкретности первые столбцов линейно независимы, а остальные столбцы являются линейными комбинациями первых :

Пусть — произвольное решение уравнения . Тогда (см. стр. 19)

(20)

Определим столбцы равенствами

Умножая эти равенства слева почленно на , в силу равенств (19) и (20) находим:

(20')

Система из равенств (20) и (20') эквивалентна одному матричному равенству

где — матрица ранга .

Решение минимального ранца матричного уравнения всегда представимо в виде

где — некоторая -матрица.

Действительно, из равенства следует, что строки матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы . Поскольку как среди строк матрицы , так и среди строк матрицы имеется одно и то же число линейно независимых, то и, обратно, строки матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы , а отсюда уже следует равенство .

Докажем теперь следующее предложение.

Матричное уравнение

где , — заданные, а — искомая прямоугольная матрица, имеет решение в том и только том случае, когда одновременно имеют решения матричные уравнения

, , (22)

т. е. когда столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы , а строки матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы .

В самом деле, если матрица — решение уравнения (21), то матрицы и являются решениями уравнений (22).

Обратно, пусть существуют решения , уравнений (22). Тогда первое из этих уравнений имеет решение минимального ранга , которое по доказанному представимо в виде

Поэтому

Тогда матрица будет решением уравнения (21).