§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы

1. Введем понятие об инвариантных многочленах -матрицы .

Пусть многочленная матрица  имеет ранг , т. е. в этой матрице имеются не равные тождественно нулю миноры -го порядка, в то время как все миноры порядка  тождественно относительно  равны нулю. Обозначим через  наибольший общий делитель всех миноров -го- порядка матрицы  . Тогда, как нетрудно видеть, в ряду

каждый многочлен делится без остатка на последующий. Соответствующие частные обозначим через :

.                        (10)

Определение 4. Многочлены , определяемые формулами (10), называются инвариантными многочленами прямоугольной матрицы .

Термин «инвариантные многочлены» связан со следующими соображениями. Пусть  и  – две эквивалентные многочленные матрицы. Тогда они получаются друг из друга при помощи элементарных операций. Но нетрудно непосредственно проверить, что элементарные операции не изменяют ни ранга  матрицы , ни самих многочленов . Действительно, применяя к тождеству (3'') формулу, выражающую минор произведения матриц через миноры сомножителей (см. стр. 22), мы для произвольного минора матрицы  получим выражение

.

Отсюда следует, что все миноры порядка  матрицы  равны нулю и, следовательно, для ранга  матрицы  имеем:

.

Кроме того, из этой же формулы вытекает, что  – наибольший общий делитель всех миноров -го порядка матрицы  – делится на  нацело . Но матрицы  и  можно поменять ролями. Поэтому , и  делится без остатка на  . Отсюда

, , , …, .

Поскольку элементарные операции не меняют многочленов , то они не изменяют и многочленов , определяемых формулами (10).

Таким образом, многочлены  остаются неизменными, инвариантными при переходе от одной матрицы к другой, ей эквивалентной.

Если многочленная матрица имеет канонический диагональный вид (9), то, как нетрудно видеть, для этой матрицы

.

Но тогда в силу соотношений (10) диагональные многочлены в (9)  совпадают с инвариантными многочленами

.                       (11)

Здесь  являются одновременно и инвариантными многочленами исходной матрицы , поскольку эта матрица эквивалентна матрице (9).

Полученные результаты мы можем сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Многоценная прямоугольная матрица  всегда эквивалентна канонической диагональной матрице

                 (12)

При этом здесь обязательно  – ранг, a  – инвариантные многочлены матрицы , определяемые формулами (10).

Следствие 1. Для того чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров  и  были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они имели одни и те же инвариантные многочлены.

Действительно, необходимость этого условия была выяснена выше. Достаточность следует из того, что две многочленные матрицы, имеющие одни и те же инвариантные многочлены, эквивалентны одной и той же канонической диагональной матрице и, следовательно, эквивалентны между собой.

Таким образом, инвариантные многочлены образуют полную систему инвариантов -матрицы.

Следствие 2. В ряду инвариантных многочленов

                  (13)

каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего.

Это утверждение не вытекает непосредственно из формул (13). Оно следует из того, что многочлены  совпадают с многочленами  канонической диагональной матрицы (9).

2. Укажем методы вычисления инвариантных многочленов для квазидиагональных -матриц, если известны инвариантные многочлены матриц, стоящих в диагональных клетках.

Теорема 4. Если в квазидиагональной прямоугольной матрице

любой инвариантный многочлен матрицы  является делителем любого инвариантного многочлена матрицы , то совокупность инвариантных многочленов матрицы  получается объединением инвариантных многочленов матриц  и .

Доказательство. Обозначим через  и  соответственно инвариантные многочлены -матриц  и . Тогда

,

и, следовательно,

.                (14)

-матрица, стоящая в правой части этого соотношения, имеет каноническую диагональную форму. Тогда согласно теореме 3 не равные тождественно нулю диагональные элементы этой матрицы образуют полную систему инвариантных многочленов матрицы . Теорема доказана.

Для того чтобы в общем случае при произвольных инвариантных многочленах матриц  и  определить инвариантные многочлены , мы воспользуемся важным понятием об элементарных делителях.

Разложим инвариантные многочлены  на неприводимые в данном числовом поле  множители:

                                  (15)

Здесь  – все различные неприводимые в поле  многочлены (со старшими коэффициентами, равными единице), входящие в состав .

Определение 5. Все отличные от единицы степени среди  в разложении (15) называются элементарными делителями матрицы  в поле .

Теорема 5. Совокупность элементарных делителей прямоугольной квазидиагональной матрицы

всегда получается объединением элементарных делителей матрицы  с элементарными делителями матрицы .

Доказательство. Разложим инвариантные многочлены матриц  и  на неприводимые в поле  множители:

Обозначим через

                 (16)

все отличные от нуля числа среди .

Тогда матрица  эквивалентна матрице (14), а последняя перестановкой строк и столбцов может быть приведена к «диагональному» виду

,                 (17)

где через  мы обозначили многочлены, взаимно простые с , а через  – многочлены, взаимно простые с  либо тождественно равные нулю. Из вида матрицы (17) непосредственно вытекают следующие разложения многочленов  и  для матрицы :

 и т. д.,

 и т. д.

Отсюда следует, что , т. е. все не равные единице из степеней

,

являются элементарными делителями матрицы .

Аналогично определяются элементарные делители матрицы , являющиеся степенями  и т. д. Теорема доказана.

Примечание. Совершенно аналогично предыдущему можно построить теорию эквивалентности для целочисленных матриц (т. е. матриц, у которых элементы – целые числа). При этом в 1, 2 (см. стр. 135) ,  заменяется целым числом, а в формулах (3), (3'),  (3") вместо  и  стоят целочисленные матрицы с определителями, равными .

3. Пусть дана теперь матрица  с элементами из поля . Составим для нее характеристическую матрицу

.                (18)

Характеристическая матрица является -матрицей ранга . Ее инвариантные многочлены

             (19)

называются инвариантными многочленами матрицы , а соответствующие элементарные делители в поле  – элементарными делителями в поле  матрицы . Первый инвариантный многочлен  совпадает с минимальным многочленом  матрицы . Знание инвариантных многочленов (а следовательно, и элементарных делителей) матрицы  позволяет исследовать ее структуру. Поэтому представляют интерес практические способы вычисления инвариантных многочленов матрицы. Сами формулы (19) дают алгоритм для вычисления этих многочленов, но этот алгоритм при больших  очень громоздок.

Теорема 3 дает другой способ вычисления инвариантных многочленов, основанный на приведении характеристической матрицы (18) при помощи элементарных операций к каноническому диагональному виду.

Пример.

,        .

В характеристической матрице  прибавим к четвертой строке третью, предварительно помноженную на :

.

Теперь, прибавляя к первым трем столбцам четвертый, предварительно помноженный соответственно на , получим:

.

К первому столбцу прибавляем второй, помноженный на :

.

Прибавим ко второй и четвертой строкам первую, помноженную соответственно на  и ; найдем:

.

Прибавим к четвертой строке вторую, затем умножим первую и третью строки на . После перестановки строк и столбцов получим:

.

Матрица  имеет два элементарных делителя:  и .