§ 4. Эквивалентность линейных двучленов

В предыдущих параграфах мы рассматривали прямоугольные -матрицы. В этом же параграфе мы рассмотрим две квадратные -матрицы  и  -го порядка, у которых все элементы имеют степень не выше единицы относительно . Эти многочленные матрицы могут быть представлены в виде матричных двучленов:

, .

Мы будем предполагать, что эти двучлены имеют первую степень и регулярны, т. е. что ,  (см. стр. 87).

Следующая теорема устанавливает критерий эквивалентности таких двучленов:

Теорема 6. Если два регулярных двучлена первой степени  и эквивалентны, то эти двучлены строго эквивалентны, т. е. в тождестве

                (20)

можно  и  – матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями – заменить постоянными неособенными матрицами  и :

.                (21)

Доказательство. Так как определитель матрицы  не зависит от  и отличен от нуля, то обратная матрица  также будет многочленной. Пользуясь этой матрицей, мы тождество (20) перепишем в виде

.                       (22)

Рассматривая  и  как матричные многочлены, разделим  слева на , a  – справа на :

,                     (23)

;                       (24)

здесь  и  – постоянные (не зависящие от ) квадратные матрицы -го порядка. Полученные выражения для  и  поставим в (22). После небольших преобразований получим:

.                    (25)

Разность, стоящая в квадратных скобках, должна тождественно равняться нулю, так как в противном случае произведение, стоящее в левой части равенства (25), имело бы степень , в то время как в правой части этого же равенства стоит многочлен не выше первой степени. Поэтому

;                        (26)

но тогда из (25) получим:

.                       (27)

Покажем теперь, что  – неособенная матрица. Для этого разделим  слева на :

.                       (28)

Из (22), (23) и (28) следует:

                  (29)

Так как последняя часть этой цепочки равенств должна иметь пулевую степень относительно  (поскольку она равна ), то выражение в квадратных скобках должно тождественно равняться нулю. Но тогда из (29)

.                    (30)

Отсюда следует:  и .

Умножая обе части равенства (27) слева на , получим:

.

Неособенность матрицы  следует из (30). Но неособенность матриц  и  следует и из самого тождества (21), так как из этого тождества вытекает равенство

и потому

.

Теорема доказана.

Примечание. Из доказательства следует [см. (24) и (28)], что в качестве постоянных матриц  и , которыми мы заменяем -матрицы  и  в тождестве (20), можно взять соответственно левый и правый остатки от деления  и  на .