§ 5. Критерий подобия матриц

Пусть дана матрица с числовыми элементами из поля . Ее характеристическая матрица является -матрицей ранга и потому имеет инвариантных многочленов (см. § 3)

Следующая теорема показывает, что эти инвариантные многочлены определяют исходную матрицу с точностью до преобразования подобия.

Теорема 7. Для того чтобы две матрицы и были подобны , необходимо и достаточно, чтобы они имели одни и те же инвариантные многочлены, или, что то же, одни и те же элементарные делители в поле .

Доказательство. Условие необходимо. Действительно, если матрицы и подобны, то существует такая неособенная матрица , что

Отсюда

Это равенство показывает, что характеристические матрицы и эквиваленты и потому имеют одни и те же инвариантные многочлены.

Условие достаточно. Пусть характеристические матрицы и имеют одни и те же инвариантные многочлены. Тогда эти -матрицы эквивалентны (см. следствие 1 из теоремы 3), и, следовательно, существуют две многочленные матрицы и такие, что

. (31)

Применяя к матричным двучленам и теорему 6, мы можем в тождестве (31) заменить -матрицы и постоянными матрицами и :

, (32)

причем в качестве и можно взять (см. примечание на стр. 124) соответственно левый и правый остатки от деления и на , т. е. на основании обобщенной теоремы Безу можно положить:

, . (33)

Приравнивая в обеих частях равенства (32) коэффициенты при нулевой и при первой степенях , получим:

, ,

т. е.

где

Теорема доказана.

Замечание. Попутно нами установлено следующее предложение, которое мы сформулируем как

Добавление к теореме 7. Если и – две подобные матрицы

, (34)

то в качестве преобразующей матрицы можно взять матрицу

, (35)

где и – многочленные матрицы в тождестве

связывающем эквивалентные характеристические матрицы и ; в формуле (35) обозначает правое значение матричного многочлена , а – левое значение матричного многочлена при замене аргумента матрицей .