§ 6. Нормальные формы матрицы
1. Пусть дан некоторый многочлен с коэффициентами из поля 
.
Рассмотрим квадратную матрицу
-го порядка
. (36)
Нетрудно проверить, что многочлен
является характеристическим многочленом матрицы
:
.
С другой стороны, минор элемента
в характеристическом определителе равен
. Поэтому
и
,
.
Таким образом, матрица
имеет единственный отличный от единицы инвариантный многочлен, равный
.
Матрицу
мы будем называть сопровождающей матрицей для многочлена
.
Пусть дана матрица
с инвариантными многочленами
. (37)
Здесь все многочлены
имеют степень выше пулевой, причем каждый из этих многочленов, начиная со второго, является делителем предыдущего. Сопровождающие матрицы для этих многочленов обозначим через
.
Тогда квазидиагональная матрица
-го порядка
(38)
имеет своими инвариантными многочленами многочлены (37) (см. теорему 4 на стр. 145). Поскольку матрицы
и
имеют одни и те же инвариантные многочлены, они подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица
, что
. (I)
Матрица
называется первой естественной нормальной формой для матрицы
. Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (38), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: в ряду характеристических многочленов диагональных клеток каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего.
2. Обозначим теперь через
(39)
элементарные делители матрицы
в числовом поле
. Соответствующие сопровождающие матрицы обозначим через
.
Поскольку
– единственный элементарный делитель матрицы
, то согласно теореме 5 квазидиагональная матрица
(40)
имеет своими элементарными делителями многочлены (39).
Матрицы
и
имеют одни и те же элементарные делители в поле
. Поэтому эти матрицы подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица
, что
. (II)
Матрица
называется второй естественной нормальной формой для матрицы
. Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (40), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной клетки представляет собой степень неприводимого в поле
многочлена.
Замечание. Элементарные делители матрицы
в отличие от инвариантных многочленов существенно связаны с данным числовым полем
. Если мы вместо исходного числового поля
возьмем другое числовое поле (которому также принадлежат элементы данной матрицы
), то элементарные делители могут измениться. Вместе с элементарными делителями изменится и вторая естественная нормальная форма матрицы.
Так, например, пусть дана матрица
с вещественными элементами. Характеристический многочлен этой матрицы будет иметь вещественные коэффициенты. В то же время этот многочлен может иметь комплексные корни. Если
– поле вещественных чисел, то среди элементарных делителей могут быть и степени неприводимых квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами. Если
– поле комплексных чисел, то каждый элементарный делитель имеет вид
.
3. Допустим теперь, что числовое поле
содержит не только элементы матрицы
, но и все характеристические числа этой матрицы. Тогда элементарные делители матрицы
имеют вид
. (41)
Рассмотрим один из таких элементарных делителей

и поставим ему в соответствие следующую матрицу порядка
:
. (42)
Нетрудно проверить, что эта матрица имеет только один элементарный делитель
. Матрицу (42) мы будем называть жордановой клеткой, соответствующей элементарному делителю
.
Жордановы клетки, соответствующие элементарным делителям (41), обозначим через
.
Тогда квазидиагональная матрица

имеет своими элементарными делителями степени (41).
Матрицу
можно еще записать так:
,
где
,
.
Поскольку матрицы
и
имеют одни и те же элементарные делители, они подобны между собой, т. е. существует такая неособенная матрица
, что
. (III)
Матрица
называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой матрицы
. Жорданова форма характеризуется квазидиагональным видом и специальной структурой (42) диагональных клеток.
На нижеследующей схеме выписана жорданова матрица
при элементарных делителях
:
. (43)
Если все элементарные делители матрицы
– первой степени (и только в этом случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом случае мы имеем:
. (44)
Таким образом, матрица
имеет простую структуру (см. гл. III, § 8) в том и только в том случае, когда все ее элементарные делители имеют первую степень.
Иногда вместо жордановой клетки (42) рассматривают «нижнюю» жорданову клетку
-го порядка
.
Эта матрица также имеет только один элементарный делитель
. Элементарным делителям (41) соответствует «нижняя» жорданова матрица

.
Произвольная матрица
, имеющая элементарные делители (41), всегда подобна матрице
, т. е. существует такая неособенная матрица
, что
. (IV)
Заметим еще, что если
, то каждая из матриц
, 
имеет только один элементарный делитель:
. Поэтому для неособенной матрицы
, имеющей элементарные делители (41), наряду с (III) и (IV) имеют место представления
, (V)
. (VI)