§ 6. Нормальные формы матрицы

1. Пусть дан некоторый многочлен с коэффициентами из поля

.

Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка

.                        (36)

Нетрудно проверить, что многочлен  является характеристическим многочленом матрицы :

.

С другой стороны, минор элемента  в характеристическом определителе равен . Поэтому  и , .

Таким образом, матрица  имеет единственный отличный от единицы инвариантный многочлен, равный .

Матрицу  мы будем называть сопровождающей матрицей для многочлена .

Пусть дана матрица  с инвариантными многочленами

.                     (37)

Здесь все многочлены  имеют степень выше пулевой, причем каждый из этих многочленов, начиная со второго, является делителем предыдущего. Сопровождающие матрицы для этих многочленов обозначим через .

Тогда квазидиагональная матрица -го порядка

                 (38)

имеет своими инвариантными многочленами многочлены (37) (см. теорему 4 на стр. 145). Поскольку матрицы  и  имеют одни и те же инвариантные многочлены, они подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица  , что

.               (I)

Матрица  называется первой естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (38), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: в ряду характеристических многочленов диагональных клеток каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего.

2. Обозначим теперь через

                   (39)

элементарные делители матрицы  в числовом поле . Соответствующие сопровождающие матрицы обозначим через

.

Поскольку  – единственный элементарный делитель матрицы  , то согласно теореме 5 квазидиагональная матрица

                     (40)

имеет своими элементарными делителями многочлены (39).

Матрицы  и  имеют одни и те же элементарные делители в поле . Поэтому эти матрицы подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица  , что

.              (II)

Матрица  называется второй естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (40), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной клетки представляет собой степень неприводимого в поле  многочлена.

Замечание. Элементарные делители матрицы  в отличие от инвариантных многочленов существенно связаны с данным числовым полем . Если мы вместо исходного числового поля  возьмем другое числовое поле (которому также принадлежат элементы данной матрицы ), то элементарные делители могут измениться. Вместе с элементарными делителями изменится и вторая естественная нормальная форма матрицы.

Так, например, пусть дана матрица  с вещественными элементами. Характеристический многочлен этой матрицы будет иметь вещественные коэффициенты. В то же время этот многочлен может иметь комплексные корни. Если  – поле вещественных чисел, то среди элементарных делителей могут быть и степени неприводимых квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами. Если  – поле комплексных чисел, то каждый элементарный делитель имеет вид .

3. Допустим теперь, что числовое поле  содержит не только элементы матрицы , но и все характеристические числа этой матрицы. Тогда элементарные делители матрицы  имеют вид

             .                      (41)

Рассмотрим один из таких элементарных делителей

и поставим ему в соответствие следующую матрицу порядка :

.                    (42)

Нетрудно проверить, что эта матрица имеет только один элементарный делитель . Матрицу (42) мы будем называть жордановой клеткой, соответствующей элементарному делителю .

Жордановы клетки, соответствующие элементарным делителям (41), обозначим через

.

Тогда квазидиагональная матрица

имеет своими элементарными делителями степени (41).

Матрицу  можно еще записать так:

,

где

,                    .

Поскольку матрицы  и  имеют одни и те же элементарные делители, они подобны между собой, т. е. существует такая неособенная матрица  , что

.                (III)

Матрица  называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой матрицы . Жорданова форма характеризуется квазидиагональным видом и специальной структурой (42) диагональных клеток.

На нижеследующей схеме выписана жорданова матрица  при элементарных делителях :

.               (43)

Если все элементарные делители матрицы  – первой степени (и только в этом случае), жорданова форма является диагональной матрицей, и в этом случае мы имеем:

.                    (44)

Таким образом, матрица  имеет простую структуру (см. гл. III, § 8) в том и только в том случае, когда все ее элементарные делители имеют первую степень.

Иногда вместо жордановой клетки (42) рассматривают «нижнюю» жорданову клетку -го порядка

.

Эта матрица также имеет только один элементарный делитель . Элементарным делителям (41) соответствует «нижняя» жорданова матрица

.

Произвольная матрица , имеющая элементарные делители (41), всегда подобна матрице , т. е. существует такая неособенная матрица  , что

.              (IV)

Заметим еще, что если , то каждая из матриц

,

имеет только один элементарный делитель: . Поэтому для неособенной матрицы , имеющей элементарные делители (41), наряду с (III) и (IV) имеют место представления

,                (V)

.                   (VI)