§ 7. Элементарные делители матрицы f(A)

1. В настоящем параграфе рассмотрим следующую задачу:

Даны элементарные делители (в поле комплексных чисел) матрицы и дана функция , определенная на спектре матрицы . Требуется определить элементарные делители (в поле комплексных чисел) матрицы .

Обозначим через

элементарные делители матрицы . Тогда матрица подобна жордановой матрице

и, следовательно (см. 2 на стр. 106),

При этом

, ,

, (45)

где (см. пример 2 на стр. 106)

. (46)

Поскольку подобные матрицы и имеют одни и те же элементарные делители, то в дальнейшем вместо матрицы мы будем рассматривать матрицу .

2. Определим сначала дефект матрицы или, что то же, матрицы . Дефект квазидиагональной матрицы равен сумме дефектов отдельных диагональных клеток, а дефект матрицы [см. (46)] равен наименьшему из чисел и , где – кратность как корня , поскольку

. (46)

Мы пришли к теореме:

Теорема 8. Дефект матрицы , где матрица имеет элементарные делители

, (47)

определяется формулой

; (48)

здесь – кратность как корня .

В качестве приложения доказанной теоремы определим все элементарные делители произвольной матрицы , соответствующие, характеристическому числу :

где , , в случае, когда даны дефекты

матриц

Для этого заметим, что , где . Поэтому для определения дефекта матрицы следует в формуле (48) положить для элементарных делителей, соответствующих характеристическому числу , и во всех других слагаемых . Таким образом, получим формулы

(49)

Отсюда

. (50)

3. Вернемся к основному вопросу об определении элементарных делителей матрицы . Как уже отмечалось выше, элементарные делители совпадают с элементарными делителями , а элементарные делители квазидиагональной матрицы составляются из элементарных делителей диагональных клеток (см. теорему 5). Поэтому вопрос сводится к разысканию элементарных делителей матрицы , имеющей правильную треугольную форму:

. (51)

Рассмотрим отдельно два случая:

1. . Характеристический многочлен матрицы , очевидно, равен

Тогда, поскольку делится на без остатка, то

Здесь через мы обозначили наибольший общий делитель миноров -го порядка характеристической матрицы

Легко видеть, что минор нулевого элемента, отмеченного значком «+», равен и, следовательно, в нашем случае отличен от нуля. Поэтому здесь . Но тогда из

следует, что матрица имеет только один элементарный делитель .

2. , . В этом случае

Поэтому при любом целом положительном дефект матрицы

определится равенством

Положим

. (52)

Тогда

. (53)

Поэтому согласно формулам (50) имеем:

, , .

Таким образом, матрица имеет элементарные делители

(54)

где целые числа и определяются из (52).

4. Теперь мы уже имеем возможность выяснить,, какие элементарные делители имеет матрица (см. формулы (45) и (46)]. Каждому элементарному делителю матрицы

отвечает в матрице диагональная клетка

. (55)

Очевидно, вопрос сводится к нахождению элементарных делителей клеток вида (55). Но матрица (55) имеет правильную треугольную форму (51), причем здесь

Таким образом, приходим к теореме:

Теорема 9. Элементарные делители матрицы получаются из элементарных делителей матрицы следующим образом: элементарному делителю

(56)

матрицы при или при и отвечает один элементарный делитель

(57)

матрицы ; при элементарному делителю (56) матрицы соответствуют следующие элементарные делители матрицы :

, (58)

где

, , ;

Наконец, при , элементарному делителю (56) соответствуют элементарных делителей первой степени матрицы :

. (59)

Отметим следующие частные положения, содержащиеся в этой теореме.

1. Если – характеристические числа матрицы , то суть характеристические числа матрицы (как в первом, так и во втором рядах чисел каждое характеристическое число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения).

2. Если производная не равна нулю на спектре матрицы , то при переходе от матрицы к матрице элементарные делители не «расщепляются», т. е. если матрица имеет элементарные делители

то матрица имеет элементарные делители