§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы
1. Мы изложим еще один метод построения преобразующей матрицы, который часто приводит к меньшим вычислениям, нежели метод предыдущего параграфа. Однако этот второй метод применим лишь тогда, когда нормальная форма жорданова и известны элементарные делители
(66)
данной матрицы
.
Пусть
, где
.
Тогда, обозначая через
-й столбец матрицы
, мы матричное равенство

заменим эквивалентной системой равенств
, (67)
, (68)
…………………………………………………………….
которую перепишем еще так:
, (67')
, (68')
…………………………………………………………………
Таким образом, все столбцы матрицы
разбиваются на «жордановы цепочки» столбцов:
. Каждой жордановой клетке в
[или, что то же, каждому элементарному делителю (66)] соответствует своя жорданова цепочка столбцов. Каждая жорданова цепочка столбцов характеризуется, системой уравнений типа (67), (68) и т. п.
Нахождение преобразующей матрицы
сводится к разысканию жордановых цепочек, которые в совокупности давали бы
линейно независимых столбцов.
Мы покажем, что эти жордановы цепочки столбцов можно определить при помощи приведенной матрицы
(см. гл. IV, § 5).
Для матрицы
имеем тождество
, (69)
где
– минимальный многочлен матрицы
.
Пусть
.
Продифференцируем почленно последовательно
раз тождество (69):
(70)
Подставляя
вместо
в (69), (70) и замечая, что правые части при этом обращаются в нуль, получим:
, (71)
где
(72)
Заменим в равенствах (71) матрицы (72) их
-ми столбцами
. Получим:
(73)
.
Поскольку
, можно выбрать такое
, что
. (74)
Тогда
столбцов
(75)
линейно независимы. В самом деле, пусть
. (76)
Помножая обе части (76) последовательно на
, получим:
. (77)
Из (76) и (77) в силу (74) находим:
.
Поскольку линейно независимые столбцы (75) удовлетворяют системе уравнений (73), они образуют жорданову цепочку векторов, отвечающую элементарному делителю
[ср. (73) с (67')].
Если при некотором
, но
, то столбцы
образуют жорданову цепочку из
векторов и т. д.
2. Покажем сначала, как построить преобразующую матрицу
в том случае, когда матрица
имеет попарно взаимно простые элементарные делители:
.
Элементарному делителю
ставим в соответствие жорданову цепочку столбцов
, построенную по указанному выше способу. Тогда
. (78)
Давая
значения
, получим
жордановых цепочек, содержащих в совокупности
столбцов. Эти столбцы линейно независимы.
Действительно, пусть
. (79)
Помножим обе части равенства (79) слева на произведение
. (80)
Получим:
.
Заменяя в (80)
последовательно на
, найдем:
,
что и требовалось доказать.
Матрицу
определим формулой
. (81)
Пример.

.
Составим первый столбец
:
.
Для вычисления первого столбца матрицы
мы помножим все строки матрицы
на первый столбец матрицы
. Получим:
. Помножая на этот столбец все строки матрицы
, найдем
. Поэтому
.
Отсюда
и
. Поскольку
, то переходим ко вторым столбцам и, действуя аналогично предыдущему, находим:
и
. Составляем матрицу:
.
Сокращаем первые два столбца на 4 и вторые два столбца на
.
.
Предлагаем читателю проверить, что
.
3. Переходя к общему случаю, будем разыскивать жордановы цепочки векторов, отвечающие характеристическому числу
, которому соответствуют
элементарных делителей
,
элементарных делителей
,
делителей
и т. д.
Установим предварительно некоторые свойства матриц
. (82)
1. Матрицы (82) могут быть представлены в виде многочленов от
:
, (83)
где
. (84)
В самом деле,
,
где
.
Поэтому
, (85)
где
. (86)
Из (82), (85) и (86) следует (83).
2. Матрицы (82) имеют соответственно ранги
.
Это свойство матриц (82) непосредственно получается из 1 и теоремы 8 гл. VI, если положить ранг равным
и воспользоваться формулой (48) для дефекта функции от
(стр. 130).
3. В ряду матриц (82) столбец каждой матрицы является линейной комбинацией столбцов любой последующей матрицы.
Возьмем две матрицы
и
в ряду (82) (см. 1). Пусть
. Тогда из (84) следует:
.
Отсюда
-й столбец
матрицы
линейно выражается через столбцы
матрицы
:
.
где
– элементы
-го столбца матрицы
.
4. Не меняя основных формул (71), можно в матрице
любой столбец заменить произвольной линейной комбинацией всех столбцов, сделав соответствующую замену в
.
Теперь перейдем к построению жордановых цепочек столбцов для элементарных делителей
.
Пользуясь свойствами 2 и 4, мы матрицу
преобразуем к виду
, (87)
где столбцы
линейно независимы между собой. При этом
.
Согласно 3 для любого
столбец
есть линейная комбинация столбцов
:
. (88)
Помножим обе части этого равенства на
. Тогда, замечая, что [см. (73)]
,
,
получим в силу (87):
,
откуда в (88)
.
Поэтому столбцы
представляют собой линейно независимые комбинации столбцов
и потому, согласно 4 и 2, не меняя матрицы
, можно вместо
взять столбцы
, а вместо
,– нули.
Тогда матрица
примет вид
. (89)
Таким же образом, сохраняя вид (87) и (89) для матриц
и
, мы следующую матрицу
представим в виде
(90)
и т. д.
Формулы (73) дадут нам жордановы цепочки
(91)
Эти жордановы цепочки независимы между собой. Действительно, все столбцы
в цепочках (91) независимы, так как они образуют
независимых столбцов матрицы
. Все столбцы
в (91) независимы, так как они образуют
независимых столбцов в матрице
и т. д.; наконец, все столбцы в (91) независимы, так как они образуют
независимых столбцов в матрице
. Число столбцов в (91) равно сумме степеней элементарных делителей, соответствующих данному характеристическому числу
.
Пусть матрица
имеет
различных характеристических чисел
. Для каждого характеристического числа
составим свою систему независимых жордановых цепочек (91); число столбцов в этой системе будет равно
. Все полученные таким образом цепочки содержат
столбцов.
Эти
столбцов линейно независимы и составляют одну из искомых преобразующих матриц
.
Доказательство линейной независимости полученных
столбцов проводится следующим образом.
Любая линейная комбинация этих
столбцов может быть представлена в виде
, (92)
где
– линейная комбинация столбцов в жордановых цепочках (91), соответствующих характеристическому числу
. Но любой столбец в жордановой цепочке, соответствующей характеристическому числу
, удовлетворяет уравнению
.
Поэтому
. (93)
Возьмем фиксированное число
и построим интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра
, (см. гл. V, §§ 1, 2) по следующим значениям па спектре матрицы:
при 
и
,
.
Тогда при любом
делится на
без остатка; поэтому в силу (93)
. (94)
Точно так же разность
делится на
без остатка; поэтому
. (95)
Помножая обе части (92) на
, мы согласно (94) и (95) получим:
.
Это справедливо для любого
. Но
есть линейная комбинация независимых столбцов, отвечающих одному и тому же характеристическому числу
. Поэтому все коэффициенты в линейной комбинации
и, следовательно, все коэффициенты в (92) равны нулю.
Замечание. Укажем на некоторые преобразования над столбцами матрицы
, при которых она остается преобразующей к той же жордановой форме (при том же расположении жордановых диагональных клеток):
I. Умножение всех столбцов какой-либо жордановой цепочки на произвольное число, отличное от нуля.
II. Прибавление к каждому (начиная со второго) столбцу жордановой цепочки предыдущего столбца той же цепочки, предварительно помноженного на одно и то же произвольное число.
III. Прибавление ко всем столбцам жордановой цепочки соответствующих столбцов другой цепочки, содержащей такое же или большее число столбцов и отвечающей тому же характеристическому числу.
Пример 1.

,
,
.
Вычисляем последовательно столбцы матрицы
и соответствующие столбцы матриц
. Нам нужно получить два линейно независимых столбца матрицы
и один отличный от нуля столбец матрицы
.



Поэтому
.
Матрицу
можно несколько упростить. Последовательно
1) разделим пятый столбец на 4;
2) к третьему столбцу прибавим первый, к четвертому – второй;
3) из четвертого столбца вычтем третий;
4) разделим первый и второй столбцы на 2;
5) вычтем из второго столбца первый, предварительно помноженный на
. Получим матрицу
.
Предлагаем читателю проверить, что
и
.
Пример 2.

.
Составляем многочлены

и матрицы


В качестве первых трех столбцов матрицы
возьмем третьи столбцы этих матриц:
. В матрицах
из первого столбца вычтем удвоенный третий, а ко второму и четвертому столбцам прибавим третий. Получим:

В матрицах
к первому столбцу прибавим четвертый столбец, умноженный на 7, а из второго столбца вычтем четвертый. Получим:

В качестве последнего столбца в
берем первый столбец в
.
Имеем:
.
Для контроля можно проверить, что
и
.