§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы

1. Мы изложим еще один метод построения преобразующей матрицы, который часто приводит к меньшим вычислениям, нежели метод предыдущего параграфа. Однако этот второй метод применим лишь тогда, когда нормальная форма жорданова и известны элементарные делители

(66)

данной матрицы .

Пусть , где

Тогда, обозначая через -й столбец матрицы , мы матричное равенство

заменим эквивалентной системой равенств

, (67)

, (68)

…………………………………………………………….

которую перепишем еще так:

, (67')

, (68')

…………………………………………………………………

Таким образом, все столбцы матрицы разбиваются на «жордановы цепочки» столбцов: . Каждой жордановой клетке в [или, что то же, каждому элементарному делителю (66)] соответствует своя жорданова цепочка столбцов. Каждая жорданова цепочка столбцов характеризуется, системой уравнений типа (67), (68) и т. п.

Нахождение преобразующей матрицы сводится к разысканию жордановых цепочек, которые в совокупности давали бы линейно независимых столбцов.

Мы покажем, что эти жордановы цепочки столбцов можно определить при помощи приведенной матрицы (см. гл. IV, § 5).

Для матрицы имеем тождество

, (69)

где – минимальный многочлен матрицы .

Пусть

Продифференцируем почленно последовательно раз тождество (69):

(70)

Подставляя вместо в (69), (70) и замечая, что правые части при этом обращаются в нуль, получим:

, (71)

где

(72)

Заменим в равенствах (71) матрицы (72) их -ми столбцами . Получим:

(73)

Поскольку , можно выбрать такое , что

. (74)

Тогда столбцов

(75)

линейно независимы. В самом деле, пусть

. (76)

Помножая обе части (76) последовательно на , получим:

. (77)

Из (76) и (77) в силу (74) находим:

Поскольку линейно независимые столбцы (75) удовлетворяют системе уравнений (73), они образуют жорданову цепочку векторов, отвечающую элементарному делителю [ср. (73) с (67')].

Если при некотором , но , то столбцы образуют жорданову цепочку из векторов и т. д.

2. Покажем сначала, как построить преобразующую матрицу в том случае, когда матрица имеет попарно взаимно простые элементарные делители:

Элементарному делителю ставим в соответствие жорданову цепочку столбцов , построенную по указанному выше способу. Тогда

. (78)

Давая значения , получим жордановых цепочек, содержащих в совокупности столбцов. Эти столбцы линейно независимы.

Действительно, пусть

. (79)

Помножим обе части равенства (79) слева на произведение

. (80)

Получим:

Заменяя в (80) последовательно на , найдем:

что и требовалось доказать.

Матрицу определим формулой

. (81)

Пример.

Составим первый столбец :

Для вычисления первого столбца матрицы мы помножим все строки матрицы на первый столбец матрицы . Получим: . Помножая на этот столбец все строки матрицы , найдем . Поэтому

Отсюда и . Поскольку , то переходим ко вторым столбцам и, действуя аналогично предыдущему, находим: и . Составляем матрицу:

Сокращаем первые два столбца на 4 и вторые два столбца на .

Предлагаем читателю проверить, что

3. Переходя к общему случаю, будем разыскивать жордановы цепочки векторов, отвечающие характеристическому числу , которому соответствуют элементарных делителей , элементарных делителей , делителей и т. д.

Установим предварительно некоторые свойства матриц

. (82)

1. Матрицы (82) могут быть представлены в виде многочленов от :

, (83)

где

. (84)

В самом деле,

где

Поэтому

, (85)

где

. (86)

Из (82), (85) и (86) следует (83).

2. Матрицы (82) имеют соответственно ранги

Это свойство матриц (82) непосредственно получается из 1 и теоремы 8 гл. VI, если положить ранг равным и воспользоваться формулой (48) для дефекта функции от (стр. 130).

3. В ряду матриц (82) столбец каждой матрицы является линейной комбинацией столбцов любой последующей матрицы.

Возьмем две матрицы и в ряду (82) (см. 1). Пусть . Тогда из (84) следует:

Отсюда -й столбец матрицы линейно выражается через столбцы матрицы :

где – элементы -го столбца матрицы .

4. Не меняя основных формул (71), можно в матрице любой столбец заменить произвольной линейной комбинацией всех столбцов, сделав соответствующую замену в .

Теперь перейдем к построению жордановых цепочек столбцов для элементарных делителей

Пользуясь свойствами 2 и 4, мы матрицу преобразуем к виду

, (87)

где столбцы линейно независимы между собой. При этом

Согласно 3 для любого столбец есть линейная комбинация столбцов :

. (88)

Помножим обе части этого равенства на . Тогда, замечая, что [см. (73)]

, ,

получим в силу (87):

откуда в (88)

Поэтому столбцы представляют собой линейно независимые комбинации столбцов и потому, согласно 4 и 2, не меняя матрицы , можно вместо взять столбцы , а вместо ,– нули.

Тогда матрица примет вид

. (89)

Таким же образом, сохраняя вид (87) и (89) для матриц и , мы следующую матрицу представим в виде

(90)

и т. д.

Формулы (73) дадут нам жордановы цепочки

(91)

Эти жордановы цепочки независимы между собой. Действительно, все столбцы в цепочках (91) независимы, так как они образуют независимых столбцов матрицы . Все столбцы в (91) независимы, так как они образуют независимых столбцов в матрице и т. д.; наконец, все столбцы в (91) независимы, так как они образуют независимых столбцов в матрице . Число столбцов в (91) равно сумме степеней элементарных делителей, соответствующих данному характеристическому числу .

Пусть матрица имеет различных характеристических чисел . Для каждого характеристического числа составим свою систему независимых жордановых цепочек (91); число столбцов в этой системе будет равно . Все полученные таким образом цепочки содержат столбцов.

Эти столбцов линейно независимы и составляют одну из искомых преобразующих матриц .

Доказательство линейной независимости полученных столбцов проводится следующим образом.

Любая линейная комбинация этих столбцов может быть представлена в виде

, (92)

где – линейная комбинация столбцов в жордановых цепочках (91), соответствующих характеристическому числу . Но любой столбец в жордановой цепочке, соответствующей характеристическому числу , удовлетворяет уравнению

Поэтому

. (93)

Возьмем фиксированное число и построим интерполяционный многочлен Лагранжа–Сильвестра , (см. гл. V, §§ 1, 2) по следующим значениям па спектре матрицы:

при

, .

Тогда при любом делится на без остатка; поэтому в силу (93)

. (94)

Точно так же разность делится на без остатка; поэтому

. (95)

Помножая обе части (92) на , мы согласно (94) и (95) получим:

Это справедливо для любого . Но есть линейная комбинация независимых столбцов, отвечающих одному и тому же характеристическому числу . Поэтому все коэффициенты в линейной комбинации и, следовательно, все коэффициенты в (92) равны нулю.

Замечание. Укажем на некоторые преобразования над столбцами матрицы , при которых она остается преобразующей к той же жордановой форме (при том же расположении жордановых диагональных клеток):

I. Умножение всех столбцов какой-либо жордановой цепочки на произвольное число, отличное от нуля.

II. Прибавление к каждому (начиная со второго) столбцу жордановой цепочки предыдущего столбца той же цепочки, предварительно помноженного на одно и то же произвольное число.

III. Прибавление ко всем столбцам жордановой цепочки соответствующих столбцов другой цепочки, содержащей такое же или большее число столбцов и отвечающей тому же характеристическому числу.

Пример 1.

Вычисляем последовательно столбцы матрицы и соответствующие столбцы матриц . Нам нужно получить два линейно независимых столбца матрицы и один отличный от нуля столбец матрицы .

Поэтому

Матрицу можно несколько упростить. Последовательно

1) разделим пятый столбец на 4;

2) к третьему столбцу прибавим первый, к четвертому – второй;

3) из четвертого столбца вычтем третий;

4) разделим первый и второй столбцы на 2;

5) вычтем из второго столбца первый, предварительно помноженный на . Получим матрицу

Предлагаем читателю проверить, что и .

Пример 2.

Составляем многочлены

и матрицы

В качестве первых трех столбцов матрицы возьмем третьи столбцы этих матриц: . В матрицах из первого столбца вычтем удвоенный третий, а ко второму и четвертому столбцам прибавим третий. Получим:

В матрицах к первому столбцу прибавим четвертый столбец, умноженный на 7, а из второго столбца вычтем четвертый. Получим:

В качестве последнего столбца в берем первый столбец в .

Имеем:

Для контроля можно проверить, что и .